The attached figure shows a cross section of a beam, with two x and y axes specified. Assuming a bar density equal to 2 lb/in², calculate the xy in...

O produto de inércia xy é dado pela fórmula: Ix,y = ∫∫xydA Onde x e y são as coordenadas do elemento de área dA. Integrando sobre toda a área, temos: Ix,y = ∫∫xydA = ∫∫(x²y + xy²)dA Podemos dividir a área em três partes: a área retangular central e as duas áreas triangulares laterais. A área retangular tem dimensões 2 x 4 = 8 in² e está centrada no ponto (0,0). As áreas triangulares têm base 2 in e altura 2 in, e estão localizadas simetricamente em relação ao eixo y. Podemos calcular o produto de inércia xy para cada uma dessas áreas e somá-los para obter o produto de inércia total. Para a área retangular, temos: ∫∫(x²y)dA = ∫(0 to 4) ∫(-1 to 1) (x²y)dxdy = 0 Já que a área é simétrica em relação ao eixo y. Para as áreas triangulares, temos: ∫∫(xy²)dA = ∫(0 to 2) ∫(0 to x/2) (xy²)dxdy + ∫(2 to 4) ∫(0 to (4-x)/2) (xy²)dxdy Resolvendo as integrais, obtemos: ∫∫(xy²)dA = 1/24 + 1/24 + 1/24 + 1/24 = 1/6 in^4 Portanto, o produto de inércia xy total é: Ix,y = ∫∫(x²y + xy²)dA = 0 + 1/6 = 1/6 in^4 A alternativa correta é a letra C) 1.64 lb.in².