Calcule os seguintes limites de funções: (a) lim x→1 x4 + 3x3 − 4x2 x4 − 1 (b) lim x→−1 (6x+ 1) sen(x2 − 1) x5 − x3 (c) lim x→0+ x cos( √ ...

(a) Para calcular o limite, podemos utilizar a regra de L'Hôpital. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, temos: lim x→1 (x^4 + 3x^3 - 4x^2)/(x^4 - 1) = lim x→1 (4x^3 + 9x^2 - 8x)/(4x^3) = lim x→1 (4x^2 + 9x - 8)/(12x^2) = 1/3 (b) Novamente, podemos utilizar a regra de L'Hôpital. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, temos: lim x→-1 (6x + 1)sen(x^2 - 1)/(x^5 - x^3) = lim x→-1 (6sen(x^2 - 1) + 2x(6x + 1)cos(x^2 - 1))/(5x^4 - 3x^2) = -4/3 (c) Neste caso, podemos utilizar a expansão em série de Taylor para o cosseno: cos(x) = 1 - x^2/2 + O(x^4) Substituindo na expressão do limite, temos: lim x→0 x sen(2x)/(cos(x) - 1) = lim x→0 x sen(2x)/(-x^2/2 + O(x^4)) = lim x→0 -2x sen(2x)/x^2 = lim x→0 -4cos(0)/2 = 0 (d) Novamente, podemos utilizar a expansão em série de Taylor para o cosseno: cos(x) = 1 - x^2/2 + O(x^4) Substituindo na expressão do limite, temos: lim x→0 x sen(2x)/(cos(x) - 1) = lim x→0 x sen(2x)/(-x^2/2 + O(x^4)) = lim x→0 -2x sen(2x)/x^2 = lim x→0 -4cos(0)/2 = 0 Portanto, os limites são: (a) 1/3, (b) -4/3, (c) 0 e (d) 0.