Quantas são as retas paralelas à reta r : x + y = −6 que distam sqrt(2) do ponto P = (1, 1)? Determine a(s) equação(ões) cartesiana(s) desta(s) ret...

Quantas são as retas paralelas à reta r : x + y = −6 que distam sqrt(2) do ponto P = (1, 1)? Determine a(s) equação(ões) cartesiana(s) desta(s) reta(s).

A reta r tem inclinação -1.
As retas paralelas a r têm a mesma inclinação de r.
A distância entre uma reta e um ponto é dada pela fórmula d = |Ax + By + C|/sqrt(A^2 + B^2), onde A, B e C são os coeficientes da equação geral da reta e (x, y) é um ponto qualquer da reta.
A equação geral da reta r é x + y + 6 = 0.
Substituindo x = 1 e y = 1 na equação geral de r, temos 1 + 1 + 6 = 8.
Logo, a equação geral da reta que passa pelo ponto P é x + y + 8 = 0.
A inclinação da reta que passa pelo ponto P é 1.
A equação geral da reta paralela a r e que dista sqrt(2) do ponto P é x + y + k = 0, onde k é uma constante a ser determinada.
A distância entre a reta x + y + k = 0 e o ponto P é d = |x + y + k + 2sqrt(2)|/sqrt(2).
Igualando d a sqrt(2), temos |x + y + k + 2sqrt(2)|/sqrt(2) = sqrt(2).
Logo, x + y + k + 2sqrt(2) = sqrt(2) ou x + y + k + 2sqrt(2) = -sqrt(2).
Resolvendo a primeira equação em relação a k, temos k = -2x - 2y.
Resolvendo a segunda equação em relação a k, temos k = 2x + 2y - 4sqrt(2).
Logo, as equações gerais das retas paralelas a r e que distam sqrt(2) do ponto P são x + y - 2x - 2y = 0 e x + y + 2x + 2y - 4sqrt(2) = 0, ou seja, -x - y = 0 e 3x + 3y = 4sqrt(2).