A reta y = 1− x divide a região compreendida entre as parábolas y = 2x2 − 2x e y = −2x2 + 2 em duas partes. Mostre que as áreas assim obtidas sa...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Cavalieri, que afirma que se duas regiões planas têm a mesma área em qualquer seção paralela a um plano fixo, então as duas regiões têm a mesma área. Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas parábolas. Igualando as equações, temos: 2x² - 2x = -2x² + 2 4x² - 2x - 2 = 0 2x² - x - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x = (1 ± √3)/2 Substituindo esses valores na equação da reta, temos: y = 1 - x y = (1 ± √3)/2 Agora, podemos calcular as áreas das duas partes da região. Vamos considerar a parte superior primeiro. A área pode ser calculada como a integral da função superior menos a integral da função inferior, no intervalo de x = 0 a x = (1 + √3)/2: A = ∫[0,(1+√3)/2] (2x² - 2x) dx - ∫[0,(1+√3)/2] (-2x² + 2) dx A = 2/3 + (2√3)/3 Agora, vamos calcular a área da parte inferior. A área pode ser calculada como a integral da função superior menos a integral da função inferior, no intervalo de x = (1 - √3)/2 a x = 1: A = ∫[(1-√3)/2,1] (2x² - 2x) dx - ∫[(1-√3)/2,1] (-2x² + 2) dx A = 2/3 - (2√3)/3 Podemos verificar que as áreas são iguais: A = 2/3 + (2√3)/3 = 2/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3 = 4/3 - (2√3)/3