Use o TVI para mostrar que a equação x9 + 2x8 − 2x4 + 2x2 + 2 = 0 admite ao menos uma raiz real.

Para utilizar o Teorema de Viète (TVI), precisamos primeiro transformar a equação em uma forma mais adequada. Podemos fazer isso substituindo x por y - 1, o que nos dá: (y - 1)^9 + 2(y - 1)^8 - 2(y - 1)^4 + 2(y - 1)^2 + 2 = 0 Expandindo essa equação, obtemos: y^9 - 7y^8 + 28y^7 - 70y^6 + 126y^5 - 168y^4 + 170y^3 - 122y^2 + 56y - 11 = 0 Agora podemos aplicar o TVI. Seja r uma raiz real da equação acima. Então, podemos escrever: r + (7r - 28)/9 + (70r - 126)/36 + (168r - 170)/84 + (122r - 56)/126 = 0 Simplificando essa expressão, obtemos: r = (1/9)(28 - 70r + 126r - 168r + 170r - 56) r = (1/9)(28 + 8r) r = (28/9) + (8/9)r Isso nos diz que se r é uma raiz real da equação, então (28/9) + (8/9)r também é uma raiz real. Podemos repetir esse processo várias vezes para obter uma sequência de raízes reais: r, (28/9) + (8/9)r, (28/9) + (8/9)(28/9) + (8/9)^2r, ... Essa sequência converge para uma raiz real da equação original, o que prova que a equação admite pelo menos uma raiz real.