Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δ ( x , y ) = 2 x + 4 y . Sabe-se que...

Para determinar a massa da lâmina, é necessário calcular a integral dupla da densidade de massa superficial δ(x,y) sobre a região S. Assim, temos: m = ∬S δ(x,y) dS Onde dS é o elemento de área da região S. Para encontrar o elemento de área dS, podemos utilizar a relação: dS = √(1 + (∂y/∂x)^2) dx dy Como a região S é definida por 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ 2y, temos que: ∂y/∂x = 1/(2x) Substituindo na expressão para dS, temos: dS = √(1 + 1/(4x^2)) dx dy Agora podemos calcular a integral dupla: m = ∫0^4 ∫0^(2y) δ(x,y) √(1 + 1/(4x^2)) dx dy m = ∫0^4 ∫0^(2y) (2x + 4y) √(1 + 1/(4x^2)) dx dy m = 32/3 √17 Portanto, a massa da lâmina é aproximadamente 19,05 unidades de massa.