A técnica de substituiçảo é uma das técnicas mais empregadas em resoluçảo de integrais. Utilizando a técnica de substituiçäo, a resoluçăo de ∫ t se...

Para resolver a integral ∫t.sec²(t²).tg⁴(t²)dt utilizando a técnica de substituição, é necessário fazer a seguinte substituição: u = t² Logo, du/dt = 2t dt Substituindo t dt por 1/2 du na integral, temos: ∫t.sec²(t²).tg⁴(t²)dt = ∫sec²(u/2).tg⁴(u/2)du/2 Agora, podemos utilizar a fórmula de redução da potência do tangente: tg⁴(u/2) = (sec²(u/2) - 1)² Substituindo na integral, temos: ∫t.sec²(t²).tg⁴(t²)dt = ∫sec²(u/2).(sec²(u/2) - 1)²du/2 Fazendo uma nova substituição: v = sec(u/2) Logo, dv/du = 1/2 sec(u/2).tg(u/2) du Substituindo du por 2dv/sec(u/2).tg(u/2), temos: ∫t.sec²(t²).tg⁴(t²)dt = ∫(2v)².(v² - 1)² dv Simplificando, temos: ∫t.sec²(t²).tg⁴(t²)dt = 16/5 ∫(v⁴ - 2v² + 1) dv Integrando, temos: ∫t.sec²(t²).tg⁴(t²)dt = 16/5 (v⁵/5 - 2v³/3 + v) + C Substituindo v por sec(t²/2), temos: ∫t.sec²(t²).tg⁴(t²)dt = 16/5 (sec⁵(t²/2)/5 - 2sec³(t²/2)/3 + sec(t²/2)) + C Portanto, a solução da integral é 16/5 (sec⁵(t²/2)/5 - 2sec³(t²/2)/3 + sec(t²/2)) + C.