Grátis: 1. Determine se a função f definida abaixo é continua nos pontos indicados: (a) f(x) = {2x2 − 1, se x < −2 3− x, se x ≥ −2 , no ponto −2 e no ponto...

Análise Matemática

Colégio Objetivo

1. Determine se a função f definida abaixo é continua nos pontos indicados:
(a) f(x) = {2x2 − 1, se x < −2 3− x, se x ≥ −2 , no ponto −2 e no ponto 4.
(b) f(x) = {x2 − 4x+ 1 2x− 1 , se x ≥ 1 3x− 5, se x < 1 , no ponto −1 e no ponto 1.
(c) f(x) = {|x+ 3| x+ 3 , se x > −3 5, se x ≤ −3 , no ponto −5, no ponto −3 e no ponto 2.
(d) f(x) = {x3 cos (1 x ) , se x 6= 0 5, se x = 0 , no ponto 0.
(e) f(x) = {x2 + x− 2 x+ 2 , se x < 2 x3 − x− 5, se x ≥ 2 , em 2.
(f) f(x) = {x2 − 4, se x ≤ −1 5x3 + 3x− 1 2− x , se x > −1 , em −1.

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(a) Para verificar se a função é contínua no ponto -2, precisamos verificar se o limite à esquerda e o limite à direita existem e são iguais ao valor da função no ponto -2. Temos: lim x → -2- f(x) = lim x → -2- (2x² - 1) = 7 lim x → -2+ f(x) = lim x → -2+ (3 - x) = 5 Como os limites laterais são diferentes, a função não é contínua no ponto -2. Para verificar se a função é contínua no ponto 4, precisamos verificar se o limite à esquerda e o limite à direita existem e são iguais ao valor da função no ponto 4. Temos: lim x → 4- f(x) = lim x → 4- (3 - x) = -1 lim x → 4+ f(x) = lim x → 4+ (3 - x) = -1 Como os limites laterais são iguais ao valor da função no ponto 4, a função é contínua no ponto 4. Resposta: A função f é contínua no ponto -2 e contínua no ponto 4.

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2. Determine os valores de a e b para que a função f dada abaixo seja contínua:
(a) f(x) = {x3 − 1, se x ≤ −1 x2 − ax+ b, se −1 < x < 2 5− 3x, se x ≥ 2.
(b) f(x) = {x− a, se x < 1 x2 − 2x+ 1, se 1 ≤ x ≤ 4 3x+ b, se x > 4
(c) f(x) = {x2 − 3x+ 1, se x ≤ −1 −2ax+ b, se −1 < x ≤ 2 x3 − 1, se x > 2

3. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta:
(a) Se f : R→ R é uma função contı́nua e lim x→−1+ f(x) = 3, então f(−1) = 3.
(b) Se f : R→ R é uma função tal que lim x→2− f(x) = −4 e f(2) = −4, então f é contı́nua em x = 2.

4. Esboce o gráfico de uma função contı́nua, cujo domı́nio é o intervalo (−3, 3) e cuja imagem é toda a reta real. É possı́vel repetir esse feito, agora, usando o intervalo [−3, 3] como domı́nio?

5. Considerando o gráfico de cada função f abaixo, verifique a continuidade de f nos pontos questionados, justificando suas respostas:
(a) f é contı́nua em x = −2? f é contı́nua em x = 0?
(b) f é contı́nua em x = 0? f é contı́nua em x = 1? f é contı́nua em x = 2?
(c) f é contı́nua em x = 2? f é contı́nua em x = −1?

6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as constantes reais A e B:
f(x) = {x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2 Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1 |2− x− x2| x− 1 , se x > 1

7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida por
f(x) = {x3 − A, se x ≤ −2 x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1 4C − x, se x ≥ 1
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.

8. Seja f : R → R definida por
f(x) = {x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.

9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja contı́nua em todo seu domı́nio:
f(x) = {2− x 3− √ x2 + 5 , se x 6= 2 L, se x = 2 .

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4. Esboce o gráfico de uma função contı́nua, cujo domı́nio é o intervalo (−3, 3) e cuja imagem é toda a reta real. É possı́vel repetir esse feito, agora, usando o intervalo [−3, 3] como domı́nio?

6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as constantes reais A e B:
f(x) = {x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2 Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1 |2− x− x2| x− 1 , se x > 1

7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida por
f(x) = {x3 − A, se x ≤ −2 x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1 4C − x, se x ≥ 1
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.

8. Seja f : R → R definida por
f(x) = {x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.

9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja contı́nua em todo seu domı́nio:
f(x) = {2− x 3− √ x2 + 5 , se x 6= 2 L, se x = 2 .

Determine o valor de L para que f seja contı́nua em todo seu domı́nio.

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4. Esboce o gráfico de uma função contı́nua, cujo domı́nio é o intervalo (−3, 3) e cuja imagem é toda a reta real. É possı́vel repetir esse feito, agora, usando o intervalo [−3, 3] como domı́nio?

6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as constantes reais A e B:f(x) = {x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2 Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1 |2− x− x2| x− 1 , se x > 1

7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida porf(x) = {x3 − A, se x ≤ −2 x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1 4C − x, se x ≥ 1Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.

8. Seja f : R → R definida porf(x) = {x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.

9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja contı́nua em todo seu domı́nio:f(x) = {2− x 3− √ x2 + 5 , se x 6= 2 L, se x = 2 .

Determine o valor de L para que f seja contı́nua em todo seu domı́nio.

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6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as constantes reais A e B:
f(x) = {x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2 Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1 |2− x− x2| x− 1 , se x > 1

7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida por
f(x) = {x3 − A, se x ≤ −2 x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1 4C − x, se x ≥ 1
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.

8. Seja f : R → R definida por
f(x) = {x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.

9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja contı́nua em todo seu domı́nio:
f(x) = {2− x 3− √ x2 + 5 , se x 6= 2 L, se x = 2 .