EP3_Aulas_7_8-2023-2 (1) (1)

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EP3 - Aulas 7 e 8 Cálculo I
EP3 - CÁLCULO I
Nessa semana vocês estudarão as aulas:
Aula 7:
Continuidade das funções reais.
Aula 8:
O Teorema do Valor Intermediário.
Na aula 7, os conceitos de limites de funções e de limites laterais de funções, que vocês
aprenderam nas aulas anteriores, servirão de instrumento para a definição de um novo e
importante conceito matemático: a continuidade de uma função real.
Dizer que uma função f é contı́nua em a significa que existe f(a) e que os
valores de f(x) se aproximam de f(a) quando x assume valores próximos de
a, isto é,
lim
x→a
f(x) = f(a).
Na aula 8, vocês serão apresentados a um dos resultados mais importantes da teoria das
funções contı́nuas: o Teorema do Valor Intermediário.
O Teorema do Valor Intermediário afirma que, se uma função f é contı́nua num
intervalo fechado [a, b], f(a) 6= f(b) e d é um número entre f(a) e f(b), então
existe um número c entre a e b tal que f(c) = d.
Com esse teorema, nosso estudo sobre continuidade de funções será concluı́do e, por-
tanto, ao final dessa semana, vocês deverão ser capazes de:
� Saber a definição de função contı́nua em um ponto e a definição de função contı́nua e
identificar prontamente a diferença entre ambas;
� Determinar se uma função é ou não contı́nua em um ponto;
� Determinar se uma função é ou não contı́nua;
� Identificar os pontos de continuidade de uma função no gráfico da mesma;
� Reconhecer uma função contı́nua analisando seu gráfico;
� Saber e reconhecer as propriedades das funções contı́nuas;
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 1 Professor Mário Olivero (UFF)
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� Compreender o significado e a importância do Teorema do Valor Intermediário;
� Aplicar o Teorema do Valor Intermediário para verificar a existência de soluções de
certas equações.
BONS ESTUDOS!!!
1. Determine se a função f definida abaixo é continua nos pontos indicados:
(a) f(x) =
{
2x2 − 1, se x < −2
3− x, se x ≥ −2 , no ponto −2 e no ponto 4.
(b) f(x) =

x2 − 4x+ 1
2x− 1
, se x ≥ 1
3x− 5, se x < 1
, no ponto −1 e no ponto 1.
(c) f(x) =

|x+ 3|
x+ 3
, se x > −3
5, se x ≤ −3
, no ponto −5, no ponto −3 e no ponto 2.
(d) f(x) =

x3 cos
(1
x
)
, se x 6= 0
5, se x = 0
, no ponto 0.
(e) f(x) =

x2 + x− 2
x+ 2
, se x < 2
x3 − x− 5, se x ≥ 2
, em 2.
(f) f(x) =

x2 − 4, se x ≤ −1
5x3 + 3x− 1
2− x
, se x > −1
, em −1.
2. Determine os valores de a e b para que a função f dada abaixo seja contı́nua:
(a) f(x) =

x3 − 1, se x ≤ −1
x2 − ax+ b, se −1 < x < 2
5− 3x, se x ≥ 2.
(b) f(x) =

x− a, se x < 1
x2 − 2x+ 1, se 1 ≤ x ≤ 4
3x+ b, se x > 4
(c) f(x) =

x2 − 3x+ 1, se x ≤ −1
−2ax+ b, se −1 < x ≤ 2
x3 − 1, se x > 2
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(d) f(x) =

2x− 1, se x ≤ −1
x2 − 2ax+ b, se −1 < x < 1
4− x, se x ≥ 1
(e) f(x) =

x3 − 1, se x ≤ −2
x2 − ax+ 2b, se −2 < x < 1
6− x, se x ≥ 1
3. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta:
(a) Se f : R→ R é uma função contı́nua e lim
x→−1+
f(x) = 3, então f(−1) = 3.
(b) Se f : R→ R é uma função tal que lim
x→2−
f(x) = −4 e f(2) = −4, então f é contı́nua em
x = 2.
4. Esboce o gráfico de uma função contı́nua, cujo domı́nio é o intervalo (−3, 3) e cuja
imagem é toda a reta real. É possı́vel repetir esse feito, agora, usando o intervalo [−3, 3]
como domı́nio?
5. Considerando o gráfico de cada função f abaixo, verifique a continuidade de f nos
pontos questionados, justificando suas respostas:
(a) f é contı́nua em x = −2? f é contı́nua em x = 0?
(b) f é contı́nua em x = 0? f é contı́nua em x = 1? f é contı́nua em x = 2?
(c) f é contı́nua em x = 2? f é contı́nua em x = −1?
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6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as
constantes reais A e B:
f(x) =

x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2
Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1
|2− x− x2|
x− 1
, se x > 1
7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida por
f(x) =

x3 − A, se x ≤ −2
x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1
4C − x, se x ≥ 1
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.
8. Seja f : R → R definida por
f(x) =

x2 − 1, se x ≤ −1
B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2
x3 − x+ C, se x > 2
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.
9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja
contı́nua em todo seu domı́nio:
f(x) =

2− x
3−
√
x2 + 5
, se x 6= 2
L, se x = 2
.
10. Considere a função f : [−5,+∞) → R definida abaixo:
f(x) =

x3 − 2x2 − 3x√
x+ 5− 2
, se x 6= −1
L, se x = −1
.
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Determine o valor de L para que f seja contı́nua em todo seu domı́nio.
11. Seja f definida por
f(x) =

x3 − x2 − 6x
x2 + x− 2
, se x < −2
1− x4
3 + x
, se −2 ≤ x < 2
1 + |x|
1− |x|
, se x ≥ 2
.
Determine os pontos nos quais f é contı́nua e os pontos nos quais f é descontı́nua.
12. Considere a função f(x) = x3 + x2 − 12x. Determine se é possı́vel utilizar o Teorema
do Valor Intermediário para concluir que a função f admite uma raiz em cada um dos
intervalos abaixo:
(a) [−5,−3] (b) [−3,−1] (c) [−1, 1] (d) [1, 4]
13. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação abaixo admite
solução:
4x3 − 6x2 + 4x = 1.
14. Mostre que o polinômio x5 + 3x− 2 tem uma raiz no intervalo (0, 1).
15. Mostre que existe x ∈ (π/2, π) tal que senx = x− 1.
16. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para provar que a função
f(x) = 2x3 − x2 + 4x+ 1
admite uma raiz no intervalo [−1, 1].
17.Utilize o Teorema do Valor Intermediário para provar que a função f(x) = x3−4x+2
admite 3 raı́zes reais e distintas.
18. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para provar que a função
f(x) = x3 +
1
2
x2 − 17
4
x+
15
8
admite três raı́zes reais e distintas.
19. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação senx = x2 − 4
admite duas raı́zes reais e distintas.
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20. Se f(x) = x5−x3−1, x ∈ R, utilize o Teorema do Valor Intermediário para determinar
um intervalo [n, n+ 1], n ∈ N, que contenha pelo menos uma raiz de f .
21. Seja f(x) = x3 − x + 3. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para determinar
n ∈ Z tal que f(c) = 0, para algum c entre n e n+ 1.
22. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação x3− 4x+8 = 0
admite pelo menos uma solução.
23. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação senx = 2x− 3
admite pelo menos uma solução.
24. Sabendo que ln(3 + π
2
) < 1.6, utilize o Teorema do Valor Intermediário para provar
que a equação 2 senx = ln(x+ 3) tem solução.
Desejamos que estes exercı́cios sirvam de estı́mulo para uma ativa e
produtiva seção de trabalho. Procurem os mediadores pedagógicos
mesmo que tudo esteja correndo bem com os seus estudos indivi-
duais. Lembrem-se: divulgar informações, trocar ideias e comparti-
lhar conhecimento é fundamental para o progresso de todos. E não
esqueçam: nós queremos o seu sucesso! Estamos aqui na torcida!
Cristiane e Mário
Coordenadores de Cálculo I
BONS ESTUDOS A TODOS!!!
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