Grátis: 3. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta: (a) Se f : R→ R é uma função contı́nua e lim x→−1+ ...

Análise Matemática

Colégio Objetivo

3. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta:
(a) Se f : R→ R é uma função contı́nua e lim x→−1+ f(x) = 3, então f(−1) = 3.
(b) Se f : R→ R é uma função tal que lim x→2− f(x) = −4 e f(2) = −4, então f é contı́nua em x = 2.

Estudando com Questões

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(a) Falsa. A função pode ter um salto em x = -1, o que significa que f(-1) pode não ser igual a lim x→−1+ f(x). Portanto, a afirmação não é verdadeira. (b) Verdadeira. Se lim x→2− f(x) = −4 e f(2) = −4, então f é contínua em x = 2. A definição de continuidade de uma função em um ponto é que o limite da função no ponto é igual ao valor da função no ponto. Portanto, a afirmação é verdadeira.

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1. Determine se a função f definida abaixo é continua nos pontos indicados:
(a) f(x) = {2x2 − 1, se x < −2 3− x, se x ≥ −2 , no ponto −2 e no ponto 4.
(b) f(x) = {x2 − 4x+ 1 2x− 1 , se x ≥ 1 3x− 5, se x < 1 , no ponto −1 e no ponto 1.
(c) f(x) = {|x+ 3| x+ 3 , se x > −3 5, se x ≤ −3 , no ponto −5, no ponto −3 e no ponto 2.
(d) f(x) = {x3 cos (1 x ) , se x 6= 0 5, se x = 0 , no ponto 0.
(e) f(x) = {x2 + x− 2 x+ 2 , se x < 2 x3 − x− 5, se x ≥ 2 , em 2.
(f) f(x) = {x2 − 4, se x ≤ −1 5x3 + 3x− 1 2− x , se x > −1 , em −1.

2. Determine os valores de a e b para que a função f dada abaixo seja contínua:
(a) f(x) = {x3 − 1, se x ≤ −1 x2 − ax+ b, se −1 < x < 2 5− 3x, se x ≥ 2.
(b) f(x) = {x− a, se x < 1 x2 − 2x+ 1, se 1 ≤ x ≤ 4 3x+ b, se x > 4
(c) f(x) = {x2 − 3x+ 1, se x ≤ −1 −2ax+ b, se −1 < x ≤ 2 x3 − 1, se x > 2

4. Esboce o gráfico de uma função contı́nua, cujo domı́nio é o intervalo (−3, 3) e cuja imagem é toda a reta real. É possı́vel repetir esse feito, agora, usando o intervalo [−3, 3] como domı́nio?

5. Considerando o gráfico de cada função f abaixo, verifique a continuidade de f nos pontos questionados, justificando suas respostas:
(a) f é contı́nua em x = −2? f é contı́nua em x = 0?
(b) f é contı́nua em x = 0? f é contı́nua em x = 1? f é contı́nua em x = 2?
(c) f é contı́nua em x = 2? f é contı́nua em x = −1?

6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as constantes reais A e B:
f(x) = {x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2 Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1 |2− x− x2| x− 1 , se x > 1

7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida por
f(x) = {x3 − A, se x ≤ −2 x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1 4C − x, se x ≥ 1
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.

8. Seja f : R → R definida por
f(x) = {x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.

9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja contı́nua em todo seu domı́nio:
f(x) = {2− x 3− √ x2 + 5 , se x 6= 2 L, se x = 2 .

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4. Esboce o gráfico de uma função contı́nua, cujo domı́nio é o intervalo (−3, 3) e cuja imagem é toda a reta real. É possı́vel repetir esse feito, agora, usando o intervalo [−3, 3] como domı́nio?

6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as constantes reais A e B:
f(x) = {x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2 Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1 |2− x− x2| x− 1 , se x > 1

7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida por
f(x) = {x3 − A, se x ≤ −2 x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1 4C − x, se x ≥ 1
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.

8. Seja f : R → R definida por
f(x) = {x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.

9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja contı́nua em todo seu domı́nio:
f(x) = {2− x 3− √ x2 + 5 , se x 6= 2 L, se x = 2 .

Determine o valor de L para que f seja contı́nua em todo seu domı́nio.

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4. Esboce o gráfico de uma função contı́nua, cujo domı́nio é o intervalo (−3, 3) e cuja imagem é toda a reta real. É possı́vel repetir esse feito, agora, usando o intervalo [−3, 3] como domı́nio?

6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as constantes reais A e B:f(x) = {x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2 Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1 |2− x− x2| x− 1 , se x > 1

7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida porf(x) = {x3 − A, se x ≤ −2 x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1 4C − x, se x ≥ 1Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.

8. Seja f : R → R definida porf(x) = {x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.

9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja contı́nua em todo seu domı́nio:f(x) = {2− x 3− √ x2 + 5 , se x 6= 2 L, se x = 2 .

Determine o valor de L para que f seja contı́nua em todo seu domı́nio.

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6. Sabendo que a função f definida abaixo é continua em todo seu domı́nio, detemine as constantes reais A e B:
f(x) = {x3 − 3x+ 1, se x ≤ −2 Ax+ 2B, se −2 < x ≤ 1 |2− x− x2| x− 1 , se x > 1

7. Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida por
f(x) = {x3 − A, se x ≤ −2 x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1 4C − x, se x ≥ 1
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine A− 4C.

8. Seja f : R → R definida por
f(x) = {x2 − 1, se x ≤ −1 B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2 x3 − x+ C, se x > 2
Sabendo f é contı́nua em todo o seu domı́nio, determine B + C.

9. Determine o valor de L para que a função f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja contı́nua em todo seu domı́nio:
f(x) = {2− x 3− √ x2 + 5 , se x 6= 2 L, se x = 2 .