14. (Ita 2011) Sejam m e n inteiros tais que m 2 n 3= − é a equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm2, é igual a

a) 8 2 3
b) 4 2 3
c) 2 2 3
d) 2 9
e) 2 9

Question

14. (Ita 2011)  Sejam m e n inteiros tais que m 2 n 3= − é a equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa uma circunferência de raio r = 1 cm ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos A e B, que são as interseções da circunferência com o eixo Oy.

Sabemos que o centro da circunferência está no segundo quadrante, então a coordenada x do centro é negativa. Além disso, o raio é 1, então a equação da circunferência pode ser escrita como:

36x² + 36y² + mx + ny - 23 = 0

Substituindo x = 0, temos:

36y² + ny - 23 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos as coordenadas y dos pontos A e B:

y = (-n ± √(n² + 4*36*23)) / 2*36

y = (-n ± √(n² + 3312)) / 72

Como os pontos A e B estão no segundo quadrante, suas coordenadas x são negativas. Portanto, a área do triângulo ABC é:

A = 2 * (área do triângulo OAB)

A = 2 * (1/2 * OA * AB)

A = OA * AB

Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar OA e AB:

OA² + yA² = 1²

(-m/72)² + yA² = 1

yA² = 1 - (m/72)²

AB² = (yB - yA)²

AB² = [(n - √(n² + 3312)) / 72 - (-n - √(n² + 3312)) / 72]²

AB² = (√(n² + 3312))²

AB = √(n² + 3312)

Portanto, a área do triângulo ABC é:

A = OA * AB

A = √(1 - (m/72)²) * √(n² + 3312)

A = √(n² + 3312 - m²)

Agora, precisamos encontrar os valores de m e n que satisfazem a equação m²n³ = -36. Podemos reescrever essa equação como:

m² = -36/n³

Substituindo em A, temos:

A = √(n² + 3312 - (-36/n³))

A = √(n² + 3312 + 36/n³)

Para minimizar os cálculos, podemos usar a desigualdade de AM-GM:

(n² + 3312) + (36/n³) ≥ 2√(n² + 3312 * 36/n³)

(n² + 3312 + 36/n³) ≥ 2√(119808)

(n² + 3312 + 36/n³) ≥ 2 * 12√(83)

Agora, precisamos encontrar o menor valor inteiro de n que satisfaz essa desigualdade. Podemos testar os valores de n começando por 1:

n = 1: n² + 3312 + 36/n³ = 3349 > 2 * 12√(83)

n = 2: n² + 3312 + 36/n³ = 3321.5 > 2 * 12√(83)

n = 3: n² + 3312 + 36/n³ = 3298.37 > 2 * 12√(83)

n = 4: n² + 3312 + 36/n³ = 3279.67 > 2 * 12√(83)

n = 5: n² + 3312 + 36/n³ = 3263.8 > 2 * 12√(83)

n = 6: n² + 3312 + 36/n³ = 3249.67

Geometria Analítica

Lista 2_ Circunferência

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1. Dê a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0;2), B(7,-5) e C (6;-6).

2. (ITA 2005) Uma circunferência passa pelos pontos ( )0;2A = , ( )0;8B = e ( )8;8C = . Então , o centro da circunferência e o valor de seu raio são:

4. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação cartesiana 2 2x y ax by,+ = + onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a

a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.

5. (Unicamp 2013) Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela equação (2 ) (2 1) 8 4 0,− + + + + =p x p y p nas variáveis x e y, em que p é um parâmetro real.

6. (ITA) O ponto da circunferência x² y² 4x 10y 28 0+ + + + = que tem ordenada máxima é:

a) 2 9
b) ( )2 3, 1− −
c) 3, 1 10− −
d) 2 2, 2 2− −
e) ( )2, 4− −

7. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x² y² 5+ = . A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:

a) –1
b) 3 4−
c) 1
d) 3 4
e) 2

8. (FGV2004) As coordenadas do ponto da circunferência (x−8)2+ (y−6)2 = 25 que fica mais afastado da origem O (0, 0) são:

a) (8,6)
b) (4,3)
c) (0,25)
d) (13,12)
e) (12,9)

9. (ITA) Seja C a circunferência dada pela equação x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a , b) é o ponto em C mais próximo da origem, então:

a) 23 a e 4b 24b 15 0 2= − + + =
b) 21 a e 4b 24b 33 0 2= − + + =
c) 10 a 1 e b 3a 10 = − =
d) 10 a 1 e b 3a 10 = − − =
e) n.d.a

10. (Ita 2014) a) Determine o valor máximo de | z i |,+ sabendo que | z 2 | 1, z .− = ∈�

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1. Dê a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0;2), B(7,-5) e C (6;-6).

2. (ITA 2005) Uma circunferência passa pelos pontos ( )0;2A = , ( )0;8B = e ( )8;8C = . Então , o centro da circunferência e o valor de seu raio são:

4. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação cartesiana 2 2x y ax by,+ = + onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual aa) 1.b) 2.c) 3.d) 4.

5. (Unicamp 2013) Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela equação (2 ) (2 1) 8 4 0,− + + + + =p x p y p nas variáveis x e y, em que p é um parâmetro real.

6. (ITA) O ponto da circunferência x² y² 4x 10y 28 0+ + + + = que tem ordenada máxima é:a) 2 9b) ( )2 3, 1− −c) 3, 1 10− −d) 2 2, 2 2− −e) ( )2, 4− −

7. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x² y² 5+ = . A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:a) –1b) 3 4−c) 1d) 3 4e) 2

8. (FGV2004) As coordenadas do ponto da circunferência (x−8)2+ (y−6)2 = 25 que fica mais afastado da origem O (0, 0) são:a) (8,6)b) (4,3)c) (0,25)d) (13,12)e) (12,9)

9. (ITA) Seja C a circunferência dada pela equação x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a , b) é o ponto em C mais próximo da origem, então:a) 23 a e 4b 24b 15 0 2= − + + =b) 21 a e 4b 24b 33 0 2= − + + =c) 10 a 1 e b 3a 10 = − =d) 10 a 1 e b 3a 10 = − − =e) n.d.a

10. (Ita 2014) a) Determine o valor máximo de | z i |,+ sabendo que | z 2 | 1, z .− = ∈�

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4. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação cartesiana 2 2x y ax by,+ = + onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a

a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.

6. (ITA) O ponto da circunferência x² y² 4x 10y 28 0+ + + + = que tem ordenada máxima é:

a) 2 9
b) ( )2 3, 1− −
c) 3, 1 10− −
d) 2 2, 2 2− −
e) ( )2, 4− −

7. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x² y² 5+ = . A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:

a) –1
b) 3 4−
c) 1
d) 3 4
e) 2

8. (FGV2004) As coordenadas do ponto da circunferência (x−8)2+ (y−6)2 = 25 que fica mais afastado da origem O (0, 0) são:

a) (8,6)
b) (4,3)
c) (0,25)
d) (13,12)
e) (12,9)

9. (ITA) Seja C a circunferência dada pela equação x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a , b) é o ponto em C mais próximo da origem, então:

a) 23 a e 4b 24b 15 0 2= − + + =
b) 21 a e 4b 24b 33 0 2= − + + =
c) 10 a 1 e b 3a 10 = − =
d) 10 a 1 e b 3a 10 = − − =
e) n.d.a