Se x e y são números reais tais que x 3 + y 3 = 5(x + y ), x 2 + y 2 = 4 e x + y 6= 0, determine o valor de x y . (a) 4 (b) 3 (c) 1 (d) 0 (e) −1

Podemos resolver esse problema usando álgebra. Primeiro, vamos usar a identidade de cubos para fatorar x³ + y³: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) Substituindo os valores dados, temos: 5(x + y) = (x + y)(x² - xy + y²) Dividindo ambos os lados por (x + y), obtemos: 5 = x² - xy + y² Também sabemos que: x² + y² = 4 Podemos usar essas duas equações para encontrar o valor de xy. Começamos por quadrado a equação 5 = x² - xy + y²: 25 = x⁴ - 2x²y² + y⁴ + 2x³y - 10xy² + 2xy³ + 2x²y - 2xy³ + 2y³x - 10x²y + y³ Simplificando, obtemos: 25 = x⁴ + y⁴ + 2x³y - 8xy² - 8x²y + 2y³x Agora, podemos usar a equação x + y = -6 para substituir y por -x - 6 em todas as equações acima. Depois de simplificar, obtemos: x⁴ + 6x³ - 7x² - 36x + 25 = 0 Podemos fatorar essa equação como: (x - 1)(x + 5)(x² + x - 5) = 0 As raízes são x = 1, x = -5, x = (-1 ± √21)/2. No entanto, x + y = -6 implica que x e y têm sinais opostos. Portanto, a única solução possível é x = (-1 + √21)/2 e y = (-1 - √21)/2. Finalmente, podemos calcular xy: xy = x(x + y)/2 = (-1 + √21)/4 Portanto, a resposta correta é (e) -1.