3- Sejam P = (4, 1, -1) e r: X = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2) a) Mostre que P ∈/ r. b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P

a) Para verificar se o ponto P pertence à reta r, podemos encontrar um valor de λ que satisfaça a equação vetorial da reta com as coordenadas do ponto P. Substituindo as coordenadas de P na equação vetorial da reta, temos: P = (4, 1, -1) X = (2, 4, 1) r: X = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2) Substituindo as coordenadas de P na equação vetorial da reta, temos: (4, 1, -1) = (2, 4, 1) + λ(1, -1, 2) (2 + λ, 4 - λ, 1 + 2λ) = (4, 1, -1) Resolvendo o sistema, temos: 2 + λ = 4 4 - λ = 1 1 + 2λ = -1 λ = -3 Substituindo λ = -3 na equação vetorial da reta, temos: X = (2, 4, 1) - 3(1, -1, 2) X = (-1, 7, -5) Como o ponto P não coincide com o ponto encontrado na reta r, podemos concluir que P não pertence à reta r. b) Para obter a equação geral do plano determinado por r e P, podemos utilizar o produto vetorial entre o vetor diretor da reta r e o vetor formado pelos pontos P e um ponto qualquer da reta r. Assim, temos: Vetor diretor da reta r: v = (1, -1, 2) Vetor formado pelos pontos P e um ponto qualquer da reta r: w = P - X = (4, 1, -1) - (2, 4, 1) = (2, -3, -2) O produto vetorial entre v e w é dado por: n = v x w = (4, 3, 3) Assim, a equação geral do plano é dada por: 4x + 3y + 3z + d = 0 Para encontrar o valor de d, podemos substituir as coordenadas do ponto P na equação do plano: 4(4) + 3(1) + 3(-1) + d = 0 16 + 3 - 3 + d = 0 d = -16 Portanto, a equação geral do plano é: 4x + 3y + 3z - 16 = 0