Questão 3. Calcule a integral indefinida ∫ 1 + x 1 + x2 dx. Solução: Podemos escrever ∫ 1 + x 1 + x2 dx = ∫ 1 1 + x2 dx+ ∫ x 1 + x2 dx. A primeir...

Para calcular a integral indefinida ∫(1 + x)/(1 + x^2)dx, podemos escrevê-la como a soma de duas integrais: ∫1/(1 + x^2)dx + ∫x/(1 + x^2)dx A primeira integral tem como primitiva imediata arctg(x). Na segunda, podemos fazer a substituição u = 1 + x^2, o que nos dá du = 2xdx. Assim, temos: ∫x/(1 + x^2)dx = (1/2)∫du/u = (1/2)ln|u| + C = (1/2)ln|1 + x^2| + C Portanto, a integral indefinida ∫(1 + x)/(1 + x^2)dx é dada por: ∫(1 + x)/(1 + x^2)dx = arctg(x) + (1/2)ln|1 + x^2| + C em que C é a constante de integração.