seja a função 5y"-y=2x2 Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a solução geral tenha forma de y = erx e a solucão particul...

A equação diferencial é 5y'' - y' = 2x^2. Assumindo que a solução geral tenha a forma y = e^(rx), temos que a equação característica é 5r^2 - r = 0, que tem raízes r = 0 e r = 1/5. Portanto, a solução geral homogênea é yh = c1 + c2e^(x/5). Agora, para encontrar a solução particular, assumimos que ela tem a forma y = Ax^2 + Bx + C. Substituindo na equação diferencial, temos: 5(2A) - 2Ax + 5(2Ax + 2B) - (Ax^2 + Bx + C) = 2x^2 Simplificando, temos: Ax^2 + (20A - B)x + (10B - C) = 2x^2 Igualando os coeficientes, temos: A = 2/5 20A - B = 0 => B = 8 10B - C = 0 => C = 80 Portanto, a solução particular é yp = (2/5)x^2 + 8x + 80. Assim, a solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1 + c2e^(x/5) + (2/5)x^2 + 8x + 80.