14. (Ufpe) Um triângulo equilátero tem lado 18Ë3cm e é a base de um prisma reto de altura 48cm. Calcule o raio da maior esfera contida neste prisma.

Para encontrar o raio da maior esfera contida no prisma, precisamos primeiro encontrar a diagonal do triângulo equilátero que é a base do prisma. Podemos usar o teorema de Pitágoras para isso: a² + b² = c² Onde "a" e "b" são os lados do triângulo equilátero e "c" é a diagonal. Substituindo os valores, temos: (18√3)² + 18² = c² 972 + 324 = c² c² = 1296 c = 36 Agora, podemos encontrar a altura do prisma usando o teorema de Pitágoras novamente: h² = 48² - 18² h² = 2304 - 324 h² = 1980 h = √1980 Agora, podemos encontrar a diagonal da base do prisma: d = √(18√3)² + (√1980)² d = √(972 + 1980) d = √2952 d = 18√13 Finalmente, podemos encontrar o raio da maior esfera contida no prisma, que é igual à metade da diagonal da base: r = (18√13)/2 r = 9√13 Portanto, o raio da maior esfera contida no prisma é 9√13 cm.