4. Deduza a fórmula ∫ xrex dx = xrex − r ∫ xr−1ex dx, onde r é qualquer número real.

Para deduzir a fórmula, podemos utilizar a integração por partes. Seja u = xr e dv = ex dx, então du/dx = rxr-1 e v = ex. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ xrex dx = xr ex - ∫ rxr-1ex dx Podemos reescrever a integral restante como: ∫ rxr-1ex dx = r ∫ xr-1ex dx Substituindo na primeira equação, temos: ∫ xrex dx = xr ex - r ∫ xr-1ex dx Podemos reescrever a integral restante como: ∫ xr-1ex dx = 1/r ∫ xrex dx Substituindo na equação anterior, temos: ∫ xrex dx = xr ex - r (1/r ∫ xrex dx) Simplificando, temos: ∫ xrex dx = xr ex - ∫ xrex dx Somando ∫ xrex dx em ambos os lados, temos: 2 ∫ xrex dx = xr ex Dividindo por 2, temos a fórmula desejada: ∫ xrex dx = (xr ex)/2 + C, onde C é a constante de integração. Portanto, a resposta é (A) (xr ex)/2 + C.