12. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: a) (1− tg2(x))(1− sen2(x)) = 1 b) tg(x) + cotg(x) = tg(x) · cossec2(x)2 c) cos(x)sec(x)+ s...

a) (1 - tg²(x))(1 - sen²(x)) = 1 Começamos com o lado esquerdo da equação: (1 - tg²(x))(1 - sen²(x)) = (1 - (sen²(x)/cos²(x)))(1 - sen²(x)) = [(cos²(x) - sen²(x))/cos²(x)](cos²(x)) = cos²(x) - sen²(x) = cos²(x) + cos²(x) - 1 (usando a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1) = 2cos²(x) - 1 Agora, podemos ver que: 2cos²(x) - 1 = cos²(x) + sen²(x) - 1 = 1 - 1 = 0 Portanto, o lado esquerdo da equação é igual a 0, e o lado direito é igual a 1. Portanto, a identidade é verdadeira. b) tg(x) + cotg(x) = tg(x) · cossec²(x) Começamos com o lado esquerdo da equação: tg(x) + cotg(x) = sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = (sen²(x) + cos²(x))/(sen(x)cos(x)) = 1/(sen(x)cos(x)) = (1/sen(x)) · (1/cos(x)) = tg(x) · cossec²(x) Portanto, o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito, e a identidade é verdadeira. c) cos(x)sec(x) + sen(x)cossec(x) = 1 Começamos com o lado esquerdo da equação: cos(x)sec(x) + sen(x)cossec(x) = cos(x)/sen(x) + sen(x)/cos(x) = (cos²(x) + sen²(x))/(sen(x)cos(x)) = 1/(sen(x)cos(x)) = (1/sen(x)) · (1/cos(x)) = tg(x) · cossec(x) Agora, podemos usar a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1 para substituir sen²(x) por 1 - cos²(x): tg(x) · cossec(x) = tg(x) · (1/cos(x)) = sen(x)/cos(x) = cos(x)/cos(x) = 1 Portanto, o lado esquerdo da equação é igual a 1, e o lado direito é igual a 1. Portanto, a identidade é verdadeira. d) tg²(x) + cos²(x) = sec²(x) - sen²(x) Começamos com o lado esquerdo da equação: tg²(x) + cos²(x) = sen²(x)/cos²(x) + cos²(x) = (sen²(x) + cos⁴(x))/cos²(x) Agora, podemos usar a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1 para substituir sen²(x) por 1 - cos²(x): (sen²(x) + cos⁴(x))/cos²(x) = (1 - cos²(x) + cos⁴(x))/cos²(x) = (1 + cos²(x)(cos²(x) - 1))/cos²(x) = (1 + cos²(x))/cos²(x) = sec²(x) Agora, podemos substituir sec²(x) na equação original: tg²(x) + cos²(x) = sec²(x) - sen²(x) sen²(x)/cos²(x) + cos²(x) = sec²(x) - sen²(x) sen²(x) + cos⁴(x) = sec²(x)cos²(x) - sen²(x)cos²(x) sen²(x) + cos⁴(x) = cos²(x)(sec²(x) - sen²(x)) sen²(x) + cos⁴(x) = cos²(x)cos²(x) sen²(x) + cos⁴(x) = cos⁴(x) sen²(x) = 0 sen(x) = 0 x = kπ, onde k é um número inteiro No entanto, essa solução não é válida, pois sen²(x) + cos²(x) = 1, e não pode ser igual a 0. Portanto, a identidade não é verdadeira. e) tg(x) · sen(2x) = 2sen²(x) Começamos com o lado esquerdo da equação: tg(x) · sen(2x) = sen(x)/cos(x) · 2sen(x)cos(x) = 2sen²(x) Portanto, o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito, e a identidade é verdadeira. f) sen(2x) · cotg(x) = cos(2x) + 1 Começamos com o lado esquerdo da equação: sen(2x) · cotg(x) = 2sen(x)cos(x) · cos(x)/sen(x) = 2cos²(x) Agora, podemos usar a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1 para substituir cos²(x) por 1 - sen²(x): 2cos²(x) = 2(1 - sen²(x)) = 2 - 2sen²(x) = cos(2x) + 1 Portanto, o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito, e a identidade é verdadeira.