2. Determine se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle sobre o intervalo indicado. Em caso afirmativo, encontre todos os valores d...

a) A função f(x) = x³ + 27 é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [-3, -2]. Além disso, f(-3) = -18 e f(-2) = 19. Como f(-3) ≠ f(-2), podemos concluir que a função não satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle neste intervalo. b) A função f(x) = x(x-1)² é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [0, 1]. Além disso, f(0) = f(1) = 0. Portanto, podemos concluir que a função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle neste intervalo. Para encontrar os valores de c que satisfazem a conclusão do teorema, devemos encontrar o(s) valor(es) de x no intervalo (0, 1) onde a derivada da função é igual a zero. Derivando a função, temos f'(x) = 3x² - 4x + 1. Igualando a zero, temos 3x² - 4x + 1 = 0, que pode ser resolvida por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara. Encontramos que x = 1/3 ou x = 1. Portanto, os valores de c que satisfazem a conclusão do teorema são c = 1/3 ou c = 1. c) A função f(x) = sen(x) é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [-π, 2π]. Além disso, f(-π) = f(2π) = 0. Portanto, podemos concluir que a função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle neste intervalo. Para encontrar os valores de c que satisfazem a conclusão do teorema, devemos encontrar o(s) valor(es) de x no intervalo (-π, 2π) onde a derivada da função é igual a zero. Derivando a função, temos f'(x) = cos(x). Igualando a zero, temos cos(x) = 0, que ocorre em x = π/2 e x = 3π/2. Portanto, os valores de c que satisfazem a conclusão do teorema são c = π/2 e c = 3π/2. d) A função f(x) = 3√(x² - 3) / 3√(x+ 2) é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [1, 8]. Além disso, f(1) = 0 e f(8) = 1. Portanto, podemos concluir que a função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle neste intervalo. Para encontrar os valores de c que satisfazem a conclusão do teorema, devemos encontrar o(s) valor(es) de x no intervalo (1, 8) onde a derivada da função é igual a zero. Derivando a função, temos f'(x) = (x / 3√(x² - 3)) - (2 / 3√(x+ 2)²). Igualando a zero, temos x / 3√(x² - 3) = 2 / 3√(x+ 2)², que pode ser resolvida por manipulação algébrica. Encontramos que x = 3. Portanto, o valor de c que satisfaz a conclusão do teorema é c = 3. e) A função f(x) = tg(x) é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [0, π]. No entanto, a função não é diferenciável em x = π/2, que está dentro do intervalo dado. Portanto, não podemos aplicar o Teorema de Rolle neste intervalo. f) A função f(x) = sen(2x) é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [0, π/2]. Além disso, f(0) = f(π/2) = 0. Portanto, podemos concluir que a função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle neste intervalo. Para encontrar os valores de c que satisfazem a conclusão do teorema, devemos encontrar o(s) valor(es) de x no intervalo (0, π/2) onde a derivada da função é igual a zero. Derivando a função, temos f'(x) = 2cos(2x). Igualando a zero, temos cos(2x) = 0, que ocorre em x = π/4. Portanto, o valor de c que satisfaz a conclusão do teorema é c = π/4. g) A função f(x) = 3cos²(x) é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [π/2, 3π/2]. Além disso, f(π/2) = f(3π/2) = 3. Portanto, podemos concluir que a função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle neste intervalo. Para encontrar os valores de c que satisfazem a conclusão do teorema, devemos encontrar o(s) valor(es) de x no intervalo (π/2, 3π/2) onde a derivada da função é igual a zero. Derivando a função, temos f'(x) = -6cos(x)sen(x). Igualando a zero, temos cos(x)sen(x) = 0, que ocorre em x = π/2 e x = 3π/2. Portanto, os valores de c que satisfazem a conclusão do teorema são c = π/2 e c = 3π/2. h) A função f(x) = 3x² - 12x + 5 é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [1, 3]. Além disso, f(1) = -4 e f(3) = 2. Como f(1) ≠ f(3), podemos concluir que a função não satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle neste intervalo. i) A função f(x) = x³ - x² - 6x + 2 é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que é [0, 3]. Além disso, f(0) = 2 e f(3) = 8. Como f(0) ≠ f(3), podemos concluir que a função não satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle neste intervalo.