Verifique que a função f(x)=x³-3x²+2x+5 satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [0,2].?

Devemos verificar se:

I) A função é contínua no intervalo [a,b]

II) A função é derivável no intervalo (a,b)

III) f(a) = f(b)

• A função é contínua no conjunto dos reais, pois é um polinômio. Portanto, é contínua em [0,2];
• A função admite derivada em todos os pontos do referido intervalo, portanto e derivável em (0,2). Temos f'(x) = 3x²-6x+2 ;

Daí,

f(0) = 0³ - 3.0² + 2.0 + 5 = 5

f(2) = 2³ - 3.2² + 2.2 + 5 = 8 - 12 + 4 + 5 = 12 - 12 + 5 = 5.

Logo, temos as três condições satisfeitas.

O teorema afirma que, satisfeitas as condições, existe c pertencente ao intervalo (a,b) tal que f'(c) = 0.

Logo,

f'(c) = 3c² - 6c + 2

fazendo f'(c) = 0, temos:

3c² - 6c + 2 = 0, donde segue que os valores de c são c₁ = 1 + e c₂ = 1 -

Acredito que seja isso. Espero ter ajudado!