Questão 2. Determine os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) = x2+y2−6x−4y sobre o conjunto compacto delimitado por A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0...

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) = x² + y² - 6x - 4y sobre o conjunto compacto delimitado por A = {(x, y) ∈ R² : y ≥ 0 e y ≤ x e y ≤ 8 - x}, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro do conjunto A. Para isso, calculamos o gradiente de f(x, y) e igualamos a zero: ∇f(x, y) = (2x - 6, 2y - 4) = λ(1, -1) Isso nos dá o sistema de equações: 2x - 6 = λ 2y - 4 = -λ Resolvendo esse sistema, encontramos que: x = 3 y = 1 λ = 2 Portanto, o ponto crítico é (3, 1). Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto A. Temos que: y ≥ 0 y ≤ x ⇒ 1 ≤ 3 y ≤ 8 - x ⇒ 1 ≤ 5 Portanto, o ponto (3, 1) está dentro do conjunto A. Agora, precisamos verificar os pontos de fronteira do conjunto A. Temos três casos: 1. y = 0: Nesse caso, a função se reduz a f(x, 0) = x² - 6x. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada em relação a x e igualamos a zero: f'(x, 0) = 2x - 6 = 0 Isso nos dá x = 3, que já encontramos anteriormente. Portanto, o ponto crítico é (3, 0). 2. y = x: Nesse caso, a função se reduz a f(x, x) = 2x² - 10x + 8. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada em relação a x e igualamos a zero: f'(x, x) = 4x - 10 = 0 Isso nos dá x = 5/2. Portanto, o ponto crítico é (5/2, 5/2). 3. y = 8 - x: Nesse caso, a função se reduz a f(x, 8 - x) = 2x² - 4x + 64. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada em relação a x e igualamos a zero: f'(x, 8 - x) = 4x - 4 = 0 Isso nos dá x = 1. Portanto, o ponto crítico é (1, 7). Agora, precisamos avaliar a função nos pontos críticos e nos pontos de fronteira para determinar os pontos de máximo e mínimo. Temos: f(3, 1) = 2 f(3, 0) = 9 f(5/2, 5/2) = 9/2 f(1, 7) = 57 Portanto, o ponto de mínimo é (3, 1) e o ponto de máximo é (1, 7).