2. Descreva matematicamente e esboce algumas curvas de nível típicas das funções a seguir: a) f(x, y) = x− y/(x+ y) b) f(x, y) = y − x2 c) f(x, y)...

a) A função f(x, y) = x - y/(x + y) pode ser reescrita como f(x, y) = (x(x + y) - y)/(x + y). As curvas de nível são dadas por f(x, y) = c, onde c é uma constante. Assim, temos: x - y/(x + y) = c x(x + y) - y = cx + cy x^2 + xy - cx = y + cy x^2 + (y - c)x = y x = (y - c)/(c - 1) se c ≠ 1 x = -y/2 se c = 1 As curvas de nível são retas com inclinação (y - c)/(c - 1) para c ≠ 1 e uma reta horizontal para c = 1. b) A função f(x, y) = y - x^2 tem curvas de nível dadas por f(x, y) = c, onde c é uma constante. Assim, temos: y - x^2 = c y = x^2 + c As curvas de nível são parábolas com vértice na origem e abertura para c > 0 e c < 0. c) A função f(x, y) = xy tem curvas de nível dadas por f(x, y) = c, onde c é uma constante. Assim, temos: xy = c y = c/x As curvas de nível são hipérboles com eixos coordenados como assíntotas. d) A função f(x, y) = 5e^-x tem curvas de nível dadas por f(x, y) = c, onde c é uma constante. Assim, temos: 5e^-x = c e^-x = c/5 x = -ln(c/5) As curvas de nível são retas horizontais. e) A função f(x, y) = x^2/4 + y^2/9 tem curvas de nível dadas por f(x, y) = c, onde c é uma constante. Assim, temos: x^2/4 + y^2/9 = c y^2/9 = c - x^2/4 y = ±3sqrt(c - x^2/4) As curvas de nível são elipses com centro na origem e semi-eixos de comprimento 3sqrt(c) e 2sqrt(c). f) A função f(x, y) = xy^2 tem curvas de nível dadas por f(x, y) = c, onde c é uma constante. Assim, temos: xy^2 = c y^2 = c/x y = ±sqrt(c/x) As curvas de nível são hipérboles com eixos coordenados como assíntotas.