A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em diversas áreas de estudo e em inúmeros contextos. Sabendo disso, ...

Para determinar a equação da reta tangente a \(y=(53 x)^{1 / 3}\) e o ponto \ ((-1,2)\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada da função \(y=(53 x)^{1 / 3}\) usando a regra da cadeia: \begin{align*} y &= (53 x)^{1 / 3} \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{3}(53 x)^{-2 / 3} \cdot 53 \\ &= \frac{53}{3(53 x)^{2 / 3}} \\ &= \frac{53}{3\sqrt[3]{53^2 x^2}} \end{align*} 2. Substituir o valor de x pelo ponto dado \((-1,2)\) na equação da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente: \begin{align*} \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=-1} &= \frac{53}{3\sqrt[3]{53^2 (-1)^2}} \\ &= -\frac{53}{3\sqrt[3]{53^2}} \end{align*} 3. Usar a equação da reta tangente para encontrar a equação da reta: \begin{align*} y - y_1 &= m(x - x_1) \\ y - 2 &= -\frac{53}{3\sqrt[3]{53^2}}(x + 1) \\ y &= -\frac{53}{3\sqrt[3]{53^2}}(x + 1) + 2 \end{align*} Portanto, a equação da reta tangente a \(y=(53 x)^{1 / 3}\) e o ponto \ ((-1,2)\) é \(y = -\frac{53}{3\sqrt[3]{53^2}}(x + 1) + 2\).