Para resolver a questão, precisamos entender a condição dada: a sirene soa quando \( \sin\left(\frac{t}{6}\right) \) é um número inteiro. Os valores que a função seno pode assumir são entre -1 e 1. Portanto, os únicos números inteiros que \( \sin\left(\frac{t}{6}\right) \) pode ser são -1, 0 e 1. Agora, vamos analisar quando isso acontece: 1. \( \sin\left(\frac{t}{6}\right) = 0 \) ocorre quando \( \frac{t}{6} = n\pi \), onde \( n \) é um número inteiro. Isso implica que \( t = 6n\pi \). Para \( 0 \leq t < 24 \), temos \( n = 0, 1, 2 \), resultando em \( t = 0, 6\pi, 12\pi, 18\pi \). Como \( \pi \) é aproximadamente 3,14, isso nos dá os valores de \( t \) em horas: 0, 6, 12, 18. 2. \( \sin\left(\frac{t}{6}\right) = 1 \) ocorre quando \( \frac{t}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), onde \( k \) é um número inteiro. Isso implica que \( t = 3 + 12k \). Para \( 0 \leq t < 24 \), temos \( k = 0, 1 \), resultando em \( t = 3, 15 \). 3. \( \sin\left(\frac{t}{6}\right) = -1 \) ocorre quando \( \frac{t}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \), onde \( k \) é um número inteiro. Isso implica que \( t = 9 + 12k \). Para \( 0 \leq t < 24 \), temos \( k = 0, 1 \), resultando em \( t = 9, 21 \). Agora, juntando todos os valores que encontramos: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Observando esses valores, podemos ver que a sirene soa a cada 3 horas. Portanto, a alternativa correta é: c) De três em três horas.