Mostrar que a reta y = −x é tangente à curva y = x3 − 6x2 + 8x. Encontre o ponto de tangência. Resp: (3,−3).

Para mostrar que a reta \( y = -x \) é tangente à curva \( y = x^3 - 6x^2 + 8x \) e encontrar o ponto de tangência, siga os passos abaixo: 1. Encontrar a derivada da curva: A derivada da função \( y = x^3 - 6x^2 + 8x \) é: \[ y' = 3x^2 - 12x + 8 \] 2. Igualar a inclinação da reta à derivada da curva: A inclinação da reta \( y = -x \) é \(-1\). Portanto, precisamos resolver a equação: \[ 3x^2 - 12x + 8 = -1 \] Simplificando, temos: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Dividindo por 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Fatorando: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Assim, \( x = 1 \) ou \( x = 3 \). 3. Encontrar os pontos correspondentes na curva: - Para \( x = 1 \): \[ y = 1^3 - 6(1^2) + 8(1) = 1 - 6 + 8 = 3 \quad \text{(ponto (1, 3))} \] - Para \( x = 3 \): \[ y = 3^3 - 6(3^2) + 8(3) = 27 - 54 + 24 = -3 \quad \text{(ponto (3, -3))} \] 4. Verificar se a reta passa pelo ponto (3, -3): Substituindo \( x = 3 \) na reta: \[ y = -3 \] Portanto, a reta \( y = -x \) passa pelo ponto \( (3, -3) \). 5. Conclusão: A reta \( y = -x \) é tangente à curva \( y = x^3 - 6x^2 + 8x \) no ponto \( (3, -3) \). Assim, o ponto de tangência é \( (3, -3) \).