Questão 19. Calcule o limite L = lim x→+∞ (x/(x + 1))^2x. (a) L = 1; (b) L = +∞; (c) L = e^2; (d) L = 1/e^2; (e) L = 1/e.

Para calcular o limite \( L = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{x + 1} \right)^{2x} \), vamos analisar a expressão. Primeiro, simplificamos a fração: \[ \frac{x}{x + 1} = \frac{x}{x(1 + \frac{1}{x})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}. \] Quando \( x \to +\infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \), então: \[ \frac{x}{x + 1} \to 1. \] Agora, substituímos isso na expressão do limite: \[ L = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \right)^{2x}. \] Podemos reescrever isso como: \[ L = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{x + 1} \right)^{2x}. \] Utilizando a propriedade do limite que envolve a forma \( (1 - \frac{1}{n})^n \) que se aproxima de \( e^{-1} \), podemos reescrever: \[ L = \lim_{x \to +\infty} \left( \left( 1 - \frac{1}{x + 1} \right)^{(x + 1)} \right)^{\frac{2x}{x + 1}}. \] Sabemos que \( \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \to e^{-1} \) quando \( n \to +\infty \). Assim, temos: \[ L = e^{-2} \text{ (pois estamos elevando a base a } \frac{2x}{x + 1} \text{ que tende a 2 quando } x \to +\infty). \] Portanto, o limite é: \[ L = \frac{1}{e^2}. \] Assim, a alternativa correta é: (d) \( L = \frac{1}{e^2} \).