Dada uma função f com uma primitiva F, chamamos a família de primitivas da função f de integral indefinida e a denotamos por integral f left pare...

Para determinar a integral indefinida da função \( f(x) = \frac{3\cos(x)}{7\sin^2(x)} \), primeiro precisamos simplificar a expressão. Podemos reescrever a função da seguinte forma: \( f(x) = \frac{3\cos(x)}{7\sin^2(x)} = \frac{3\cos(x)}{7(1-\cos^2(x))} \). Agora, para encontrar a primitiva da função, podemos fazer a substituição \( u = \sin(x) \), então \( du = \cos(x)dx \). Assim, a integral indefinida de \( f(x) \) será: \[ \int \frac{3\cos(x)}{7\sin^2(x)} dx = \int \frac{3}{7(1-u^2)} du \] \[ = \frac{3}{7} \int \frac{1}{1-u^2} du \] \[ = \frac{3}{7} \int \frac{1}{(1+u)(1-u)} du \] \[ = \frac{3}{7} \int \left( \frac{A}{1+u} + \frac{B}{1-u} \right) du \] \[ = \frac{3}{7} \left( \int \frac{A}{1+u} du + \int \frac{B}{1-u} du \right) \] \[ = \frac{3}{7} \left( A\ln|1+u| - B\ln|1-u| \right) + C \] Substituindo \( u = \sin(x) \) e simplificando, obtemos a integral indefinida da função \( f(x) \).