Resolva as equações diferenciais a seguir sujeita às condições dadas. a) f '(x) = 12x2 − 6x +1, f(1) = 5 b) dy/dx = 4x, x = 4, y = 21 c) f ''(x) = ...

Para a alternativa a), para resolver a equação diferencial \( f'(x) = 12x^2 - 6x + 1 \) sujeita à condição \( f(1) = 5 \), primeiro integramos a equação diferencial para obter a função \( f(x) \). A integral de \( 12x^2 - 6x + 1 \) em relação a \( x \) é \( 4x^3 - 3x^2 + x + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Aplicando a condição inicial \( f(1) = 5 \), obtemos \( C = 3 \). Portanto, a solução para a equação diferencial com a condição dada é \( f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x + 3 \). Para a alternativa b), a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 4x \) é uma equação simples de separação de variáveis. Integrando ambos os lados, obtemos \( y = 2x^2 + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Aplicando a condição \( x = 4, y = 21 \), encontramos que \( C = 5 \). Portanto, a solução para a equação diferencial com a condição dada é \( y = 2x^2 + 5 \). Para a alternativa c), a equação diferencial \( f''(x) = 4x - 1 \) é uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolvê-la, precisamos integrar duas vezes. No entanto, como a condição dada é \( f'(2) = -2 \) e \( f(1) = 3 \), não é possível resolver a equação sem a condição adicional de \( f'(1) \). Portanto, a solução para a alternativa c) não pode ser determinada com as informações fornecidas.