Determine k para que as retas de equações x + 2y – 2k = 0, kx – y – 3 = 0 e 2x – 2y – k = 0 sejam concorrentes no mesmo ponto.

Para que as retas sejam concorrentes, o determinante formado pelos coeficientes das variáveis \(x\) e \(y\) das equações deve ser igual a zero. As equações das retas são: 1. \(x + 2y - 2k = 0\) → \(1x + 2y - 2k = 0\) 2. \(kx - y - 3 = 0\) → \(kx - 1y - 3 = 0\) 3. \(2x - 2y - k = 0\) → \(2x - 2y - k = 0\) O determinante é dado por: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2k \\ k & -1 & -3 \\ 2 & -2 & -k \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -k \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} k & -3 \\ 2 & -k \end{vmatrix} - 2k \cdot \begin{vmatrix} k & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} \] Calculando cada um dos determinantes menores: 1. \(\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -k \end{vmatrix} = (-1)(-k) - (-3)(-2) = k - 6\) 2. \(\begin{vmatrix} k & -3 \\ 2 & -k \end{vmatrix} = k(-k) - (-3)(2) = -k^2 + 6\) 3. \(\begin{vmatrix} k & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = k(-2) - (-1)(2) = -2k + 2\) Substituindo os determinantes menores na expressão do determinante \(D\): \[ D = 1(k - 6) - 2(-k^2 + 6) - 2k(-2k + 2) \] Simplificando: \[ D = k - 6 + 2k^2 - 12 + 4k^2 - 4k \] \[ D = 6k^2 - 3k - 18 \] Para que as retas sejam concorrentes, devemos ter \(D = 0\): \[ 6k^2 - 3k - 18 = 0 \] Dividindo a equação por 3: \[ 2k^2 - k - 6 = 0 \] Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara: \[ k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 2\), \(b = -1\) e \(c = -6\): \[ k = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} \] \[ k = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \] \[ k = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ k = \frac{1 \pm 7}{4} \] Assim, temos duas soluções: 1. \(k = \frac{8}{4} = 2\) 2. \(k = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\) Portanto, os valores de \(k\) para que as retas sejam concorrentes são \(k = 2\) e \(k = -\frac{3}{2}\).