Para resolver integrais duplas como essas, é importante seguir a ordem correta de integração e aplicar as regras de integração apropriadas. Vamos analisar cada uma das integrais: (a) ∫ 1 0 ∫ x^2 0 (x + 2y) dydx: Integrando primeiro em relação a y e depois em relação a x, temos: ∫ 1 0 ∫ x^2 0 (x + 2y) dydx = ∫ 1 0 [xy + y^2] de 0 até x^2 dx = ∫ 1 0 (x^3 + x^4) dx = [x^4/4 + x^5/5] de 1 até 0 = (1/4 + 1/5) - (0 + 0) = 9/20 (b) ∫ 2 1 ∫ 2 y dxdy: Integrando primeiro em relação a x e depois em relação a y, temos: ∫ 2 1 ∫ 2 y dxdy = ∫ 2 1 [2x] de y até 2 dy = ∫ 2 1 2(2 - y) dy = 2[y - y^2/2] de 2 até 1 = 2(1 - 1/2 - 4 + 4/2) = 2(1/2 - 3/2) = -2 (c) ∫ 1 0 ∫ 2−x x (x^2 − y) dydx: Integrando primeiro em relação a y e depois em relação a x, temos: ∫ 1 0 ∫ 2−x x (x^2 − y) dydx = ∫ 1 0 [2xy - xy^2] de 2-x até x dx = ∫ 1 0 [2x(2-x) - x(2-x)^2] dx = ∫ 1 0 [4x - 2x^2 - x(4 - 4x + x^2)] dx = ∫ 1 0 [4x - 2x^2 - 4x + 4x^2 - x^3] dx = ∫ 1 0 [-x^3 + 2x^2] dx = [-x^4/4 + 2x^3/3] de 1 até 0 = (-1/4 + 2/3) - (0 + 0) = 5/12 (d) ∫ π 2 0 ∫ cosθ 0 (senθ) drdθ: Integrando primeiro em relação a r e depois em relação a θ, temos: ∫ π 2 0 ∫ cosθ 0 (senθ) drdθ = ∫ π 2 0 [r senθ] de 0 até cosθ dθ = ∫ π 2 0 [r senθ] dθ = ∫ π 2 0 [senθ] dθ = [-cosθ] de π até 2 = -cos(2) + cos(π) = -1 + 1 = 0 Espero que essas respostas te ajudem em seus estudos!