Para determinar se um subconjunto de \( \mathbb{R}^3 \) é um subespaço vetorial, é necessário verificar se ele satisfaz as propriedades de um subespaço. Vamos analisar cada opção: (a) S = {(x1, x2, x3) ∈ \( \mathbb{R}^3 \) : x1 + x2 ≥ 0} Para verificar se S é um subespaço, precisamos verificar se ele contém o vetor nulo, se é fechado sob a adição vetorial e a multiplicação por escalar. No entanto, ao somar dois vetores em S, o resultado pode não satisfazer a condição x1 + x2 ≥ 0, violando assim a propriedade de fechamento da adição vetorial. Portanto, S não é um subespaço de \( \mathbb{R}^3 \). (b) S = {(x1, x2, x3) ∈ \( \mathbb{R}^3 \) : x1 + 2x2 = 0 e x1 + x2 = 3x3} Para verificar se S é um subespaço, também precisamos verificar se ele contém o vetor nulo, se é fechado sob a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Neste caso, ao somar dois vetores em S, o resultado ainda satisfaz as condições dadas, e a multiplicação por escalar também é preservada. Portanto, S é um subespaço de \( \mathbb{R}^3 \). Assim, a opção correta é: (b) S = {(x1, x2, x3) ∈ \( \mathbb{R}^3 \) : x1 + 2x2 = 0 e x1 + x2 = 3x3}