Álgebra Linear - Espaços Vetoriais

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<p>Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC</p><p>Centro de Ciências Físicas e Matemáticas</p><p>Departamento de Matemática</p><p>MTM 5245 - Álgebra Linear</p><p>Prof. Dr. Jáuber C. Oliveira</p><p>*** Lista 1 ***</p><p>Q1- Seja V = R × R. Se (a1, a2), (b1, b2) ∈ V e c ∈ R, de�nimos adição de</p><p>elementos de V e produtos de elementos de V por escalar da seguinte</p><p>forma:</p><p>(a1, a2)⊕ (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2), c · (a1, a2) = (ca1, a2).</p><p>Pergunta: V munido com estas operações é um espaço linear sobre R?</p><p>Justi�que detalhadamente sua resposta.</p><p>Q2- Seja V = R × R. Se (a1, a2), (b1, b2) ∈ V e c ∈ R, de�nimos adição de</p><p>elementos de V e produtos de elementos de V por escalar da seguinte</p><p>forma:</p><p>(a1, a2)⊕ (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2), c · (a1, a2) = (a1, 0).</p><p>Pergunta: V munido com estas operações é um espaço linear sobre R?</p><p>Justi�que detalhadamente sua resposta.</p><p>Q3- Seja V = R × R. Se (a1, a2), (b1, b2) ∈ V e c ∈ R, de�nimos adição de</p><p>elementos de V e produtos de elementos de V por escalar da seguinte</p><p>forma:</p><p>(a1, a2)⊕ (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2),</p><p>c · (a1, a2) = (ca1, a2/c) se c 6= 0, e c · (a1, a2) = (0, 0) se c = 0.</p><p>Pergunta: V munido com estas operações é um espaço linear sobre R?</p><p>Justi�que detalhadamente sua resposta.</p><p>Q4- (Revisão) Responda detalhadamente.</p><p>(a) A união de dois subespaços de um espaço linear V sempre produz</p><p>um subespaço de V?</p><p>(b) A interseção de dois subespaços de um espaço linear V sempre pro-</p><p>duz um subespaço de V?</p><p>(c) A soma de dois subespaços de um espaço linear V sempre produz</p><p>um subespaço de V?</p><p>(d) O gerador de um subconjunto S de um espaço linear é sempre um</p><p>subespaço de V?</p><p>(e) Se S = {u1, u2, · · · , un} são elementos de um espaço linear V, en-</p><p>tão qual é o menor subespaço que contém S?</p><p>(f) Qual a relação entre os conceitos de soma e união de subespaços?</p><p>(g) De�nir soma direta de subespaços. Que propriedade distingue esta</p><p>soma da soma usual de subespaços?</p><p>(h) Mn (R) =M s</p><p>n (R)⊕Ma</p><p>n (R)?</p><p>Q5- Seja V o conjunto dos números reais positivos. De�nimos soma de</p><p>elementos de V e produto por escalar da seguinte forma: x ⊕ y = x · y</p><p>(no lado direito temos o produto usual de dois números reais) e λ◦x = xλ</p><p>2</p><p>(no lado direito temos o número real x na potência λ). V é ou não espaço</p><p>vetorial? Justi�que sua resposta em detalhe.</p><p>Q6- Quais dos seguintes subconjuntos de R3 são subespaços? Justi�que.</p><p>(a)</p><p>S =</p><p>{</p><p>(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 ≥ 0</p><p>}</p><p>(b)</p><p>S =</p><p>{</p><p>(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + 2 x2 = 0 e x1 + x2 = 3 x3</p><p>}</p><p>.</p><p>Q7- Seja D0 o conjunto de todas as funções reais diferenciáveis sobre o inter-</p><p>valo [0, 1] tais que f (0) = f (1) = 0. De�nindo a soma de funções e o</p><p>produto por escalar da forma usual, indaga-se: D0 é um espaço linear?</p><p>Responda à mesma indagação para o caso onde as funções do conjunto,</p><p>neste caso denotado D1, satisfazem f (0) = 0, f (1) = 1.</p><p>Q8- O vetor (3, −1, 0, −1) pertence ao subespaço do R4 gerado pelos ve-</p><p>tores (2, −1, 3, 2) , (−1, 1, 1, −3) e (1, 1, 9, −5)?</p><p>Q9- Seja V o espaço linear das funções f : R → R. Seja Vp o subconjunto</p><p>das funções pares, f (−x) = f (x). Seja Vi o subconjunto de V formado</p><p>pelas funções ímpares, f (−x) = −f (x). Responda às indagações:</p><p>(a) Vp é subespaço de V?</p><p>(b) Vi é subespaço de V?</p><p>(c) Vp + Vi =?</p><p>(d) Vp ∩ Vi =?</p><p>Q10- Os vetores (1, 1, 2, 4) , (2, −1, −5, 2), (1, −1, −4, 0) e (2, 1, 1, 6)</p><p>são linearmente independentes em R4? Determinar uma base do sube-</p><p>spaço do R4 gerado por estes quatro vetores.</p><p>Q11- Seja V o espaço linear das matrizes simétricas de ordem três com coe�-</p><p>cientes reais, M s</p><p>3 (R). Qual é a dimensão de V? Justi�que sua resposta.</p><p>Obtenha uma base para V.</p><p>Q12- Encontre um conjunto de vetores geradores dos seguintes subespaços do</p><p>R4.</p><p>(a) S =</p><p>{</p><p>(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 − x2 − x3 + x4 = 0</p><p>}</p><p>;</p><p>(b) S =</p><p>{</p><p>(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 − x2 = x3 + x4 = 0</p><p>}</p><p>.</p><p>Q13- Considere no R3 os seguintes subespaços vetoriais:</p><p>U = [(1, 0, 0) , (1, 1, 1)] e V = [(0, 1, 0) , (0, 0, 1)] .</p><p>Determine um conjunto de vetores geradores de U ∩ V .</p><p>Q14- Obter uma base e a dimensão do subespaço S do R4 dado por S ={</p><p>(x1, x2 x3, x4) ∈ R4 : x1 − x2 = 0 e x1 + 2 x2 + x4 = 0</p><p>}</p><p>.</p><p>Q15- (Revisão) Responda detalhadamente.</p><p>(a) Comente a seguinte a�rmativa: todo espaço linear possui uma base.</p><p>(b) De�na dependência e independência linear, base e dimensão.</p><p>(c) Dados m vetores do Rn, como determinar se eles são LD? Mais</p><p>geralmente, como determinar a dimensão do subespaço W gerado por</p><p>estes vetores?</p><p>(d) Dado um vetor qualquer do Rn, como determinar se este vetor é</p><p>uma combinação linear dos m vetores citados no item (c), isto é, se o</p><p>vetor pertence a W?</p><p>(e) Em um espaço linear de dimensão �nita n, {v1, · · · , vn} formam</p><p>3</p><p>uma base de V se forem LI OU gerarem V. Esta a�rmação é verdadeira</p><p>ou falsa? Justi�que.</p><p>Q16- Encontre uma base para S ∩W , onde</p><p>S =</p><p>{</p><p>(x1, x2 x3, x4) ∈ R4 : x1 − x2 + x3 − x4 = 0</p><p>}</p><p>;</p><p>W =</p><p>{</p><p>(x1, x2 x3, x4) ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0</p><p>}</p><p>.</p><p>Q17- Dado o seguinte subespaço de V = R4,</p><p>W =</p><p>{</p><p>(x1, x2 x3, x4) ∈ R4 : x1 − x2 = x3 − x4 = 0</p><p>}</p><p>,</p><p>determine um subespaço U tal que V = U ⊕W .</p><p>Q18- Seja W =</p><p>{</p><p>(x1, x2 x3, x4) ∈ R4 : x1 − x2 = x2, x1 − 3 x2 + x4 = 0</p><p>}</p><p>e</p><p>U o subespaço gerado por {(1, 2, 1, 3) , (3, 1,−1, 4)}. Determinar uma</p><p>base e a dimensão de U +W e de U ∩W .</p><p>Q19- O conjunto das matrizes que 4 × 4 que possuem traço nulo forma um</p><p>subespaço de M4×4 (R)? Justi�que sua resposta em detalhe.</p><p>Q20- Considere o seguinte conjunto U =</p><p>{</p><p>x4 + x− 1, x3 − x+ 1, x2 − 1</p><p>}</p><p>⊂</p><p>P4 (R). Este subconjunto é linearmente independente? Justi�que de-</p><p>talhadamente. Construa a partir deste conjunto uma base para P4 (R).</p><p>Q21- O polinômio p (x) = 1 + x − 2 x2 + 4 x3 pertence ao subespaço de</p><p>P3 (R) gerado pelo conjunto</p><p>{</p><p>1− x, 1− x2, 1− x3</p><p>}</p><p>? Justi�que detal-</p><p>hadamente sua resposta.</p><p>Q22- Considere os seguintes subespaços lineares do R3:</p><p>V =</p><p>{</p><p>(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x3 = 0 e x1 − 2 x2 = 0</p><p>}</p><p>,</p><p>W =</p><p>{</p><p>(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + 2 x2 − 3 x3 = 0</p><p>}</p><p>,</p><p>Determine uma base e a dimensão para V +W .</p><p>Q23- Determinar uma base e a dimensão para o espaço solução do seguinte</p><p>sistema linear homogêneo:</p><p>x1 + x2 + x3 = 0</p><p>2 x1 − x2 − 2 x3 = 0</p><p>x1 + 4 x2 + 5 x3 = 0</p><p>Q24- Seja M o conjunto das matrizes 2× 2 com coe�cientes reais da forma:</p><p>A =</p><p>(</p><p>a b</p><p>−b a</p><p>)</p><p>.</p><p>M é ou não um espaço vetorial? Justi�que detalhadamente sua resposta.</p><p>Q25- Determine a dimensão do subespaço linear</p><p>S = {p (x) ∈ P2 (R) : p (1) = 0} .</p><p>Encontre uma base para S.</p><p>Q26- Estenda {1− x, 1 + x} a uma base de P2 (R).</p><p>Q27- Que condições os coe�cientes da matriz E devem satisfazer de modo que</p><p>E, descrita a seguir, pertença ao subespaço gerado pelas matrizes A, B</p><p>e C?</p><p>E =</p><p>(</p><p>a b</p><p>c d</p><p>)</p><p>,</p><p>4</p><p>A =</p><p>(</p><p>1 1</p><p>1 0</p><p>)</p><p>, B =</p><p>(</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>)</p><p>, C =</p><p>(</p><p>0 1</p><p>1 0</p><p>)</p><p>.</p><p>Q28- Classi�que as a�rmações como V (verdadeiro) ou F (falso), justi�cando</p><p>sua resposta em cada caso.</p><p>( ) O espaço linear zero não admite base.</p><p>( ) Qualquer espaço linear que é gerado por um conjunto �nito tem</p><p>uma base.</p><p>( ) Qualquer espaço linear tem uma base �nita.</p><p>( ) Um espaço linear pode ter mais de uma base.</p><p>( ) Se um espaço linear tem uma base com n elementos, então o número</p><p>de elementos de cada base é n.</p><p>( ) A dimensão de Mm×n(R) é m+ n.</p><p>( ) A dimensão de Pn(R) é n.</p><p>( ) Se V é um espaço linear de dimensão �nita que contém um conjunto</p><p>S1 L.I. e contém um conjunto S2 que o gera, então S1 não pode conter</p><p>mais elementos do que S2.</p><p>( ) Se V é um espaço linear com dimensão �nita n, então V tem</p><p>exatamente um subespaço de dimensão 0 e exatamente um subespaço</p><p>de dimensão n.</p><p>( ) Se V é um espaço linear com dimensão n, e se S é um subconjunto</p><p>de V com n elementos , então S é L. I. se, e somente se, S gera V .</p><p>( ) Se S gera um espaço linear V , então cada elemento de V pode ser</p><p>escrito de forma única como uma combinação linear de elementos de S.</p><p>Q29- O conjunto S das soluções para o sistema linear x1 − 2x2 + x3 = 0,</p><p>2x1 − 3x2 + x3 = 0 é um subespaço do R3 (veri�que). Encontre uma</p><p>base para S.</p><p>Q30- Sejam n ∈ N, a ∈ R e</p><p>W := {f ∈ Pn(R) : f(a) = 0} .</p><p>(a) Veri�que que W é subespaço de V = Pn(R).</p><p>(b) Encontre uma base para W e determine a dimensão de W .</p><p>(c) Encontre um subespaço U de V tal</p><p>que</p><p>V = U ⊕W.</p><p>Q31- O conjuntoW das matrizes n×n com traço igual a zero é um subespaço</p><p>deMn×n(R) (veri�que). Encontre uma base para W .Qual é a dimensão</p><p>de W?</p><p>Q32- O conjunto W das matrizes n × n anti-simétricas é um subespaço de</p><p>Mn×n(R) (veri�que). Encontre uma base para W .Qual é a dimensão de</p><p>W?</p><p>Q33- Seja n um número natural dado. Dado um polinômio f ∈ Pn(R) de</p><p>grau n, veri�que que:</p><p>W :=</p><p>{</p><p>f, f (1), f (2), · · · , f (n)</p><p>}</p><p>gera V = Pn(R).</p>