Q33- Seja n um número natural dado. Dado um polinômio f ∈ Pn(R) de grau n, veri�que que: W := { f, f (1), f (2), · · · , f (n) } gera V = Pn(R).

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Álgebra Linear - Espaços Vetoriais

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Para verificar se o conjunto \(W = \{f, f(1), f(2), \ldots, f(n)\}\) gera o espaço vetorial \(V = P_n(\mathbb{R})\), onde \(P_n(\mathbb{R})\) é o espaço dos polinômios de grau \(n\) com coeficientes reais, podemos utilizar o Teorema do Posto. Se o conjunto \(W\) tiver \(n+1\) elementos linearmente independentes, então ele irá gerar o espaço \(V\). Portanto, para verificar se \(W\) gera \(V\), precisamos verificar se os elementos de \(W\) são linearmente independentes.

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Q5- Seja V o conjunto dos números reais positivos. Definimos soma de elementos de V e produto por escalar da seguinte forma: x ⊕ y = x · y (no lado direito temos o produto usual de dois números reais) e λ◦x = xλ² (no lado direito temos o número real x na potência λ). V é ou não espaço vetorial? Justifique sua resposta em detalhe.

Q6- Quais dos seguintes subconjuntos de R³ são subespaços? Justifique.
(a) S = {(x1, x2, x3) ∈ R³ : x1 + x2 ≥ 0}
(b) S = {(x1, x2, x3) ∈ R³ : x1 + 2x2 = 0 e x1 + x2 = 3x3}.

Q27- Que condições os coe�cientes da matriz E devem satisfazer de modo que
E, descrita a seguir, pertença ao subespaço gerado pelas matrizes A, B
e C?
E =
(
a b
c d
)
,

4
A =
(
1 1
1 0
)
, B =
(
1 0
0 1
)
, C =
(
0 1
1 0
)
.

Q30- Sejam n ∈ N, a ∈ R e
W := {f ∈ Pn(R) : f(a) = 0} .
(a) Veri�que que W é subespaço de V = Pn(R).
(b) Encontre uma base para W e determine a dimensão de W .
(c) Encontre um subespaço U de V tal que
V = U ⊕W.

Álgebra Linear

Q33- Seja n um número natural dado. Dado um polinômio f ∈ Pn(R) de grau n, veri�que que: W := { f, f (1), f (2), · · · , f (n) } gera V = Pn(R).

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Q6- Quais dos seguintes subconjuntos de R³ são subespaços? Justifique.(a) S = {(x1, x2, x3) ∈ R³ : x1 + x2 ≥ 0}(b) S = {(x1, x2, x3) ∈ R³ : x1 + 2x2 = 0 e x1 + x2 = 3x3}.

Q27- Que condições os coe�cientes da matriz E devem satisfazer de modo queE, descrita a seguir, pertença ao subespaço gerado pelas matrizes A, Be C?E =(a bc d),4A =(1 11 0), B =(1 00 1), C =(0 11 0).

Q30- Sejam n ∈ N, a ∈ R eW := {f ∈ Pn(R) : f(a) = 0} .(a) Veri�que que W é subespaço de V = Pn(R).(b) Encontre uma base para W e determine a dimensão de W .(c) Encontre um subespaço U de V tal queV = U ⊕W.

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Q6- Quais dos seguintes subconjuntos de R³ são subespaços? Justifique.
(a) S = {(x1, x2, x3) ∈ R³ : x1 + x2 ≥ 0}
(b) S = {(x1, x2, x3) ∈ R³ : x1 + 2x2 = 0 e x1 + x2 = 3x3}.

Q27- Que condições os coe�cientes da matriz E devem satisfazer de modo que
E, descrita a seguir, pertença ao subespaço gerado pelas matrizes A, B
e C?
E =
(
a b
c d
)
,

4
A =
(
1 1
1 0
)
, B =
(
1 0
0 1
)
, C =
(
0 1
1 0
)
.

Q30- Sejam n ∈ N, a ∈ R e
W := {f ∈ Pn(R) : f(a) = 0} .
(a) Veri�que que W é subespaço de V = Pn(R).
(b) Encontre uma base para W e determine a dimensão de W .
(c) Encontre um subespaço U de V tal que
V = U ⊕W.