Questão 002 O maior valor inteiro de k para que a equação x2+y2-6x+4y+k=0 determine uma circunferência é: A) 12 B) 11 C) 14 D) 10 X E) 13

Para que a equação \(x^2 + y^2 - 6x + 4y + k = 0\) represente uma circunferência, o discriminante da equação quadrática deve ser maior que zero. Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão da circunferência, completando o quadrado: 1. Para \(x\): \[ x^2 - 6x \rightarrow (x - 3)^2 - 9 \] 2. Para \(y\): \[ y^2 + 4y \rightarrow (y + 2)^2 - 4 \] Substituindo na equação original: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + k = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + k - 13 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 13 - k \] Para que a equação represente uma circunferência, o lado direito deve ser positivo: \[ 13 - k > 0 \implies k < 13 \] O maior valor inteiro de \(k\) que satisfaz essa condição é \(k = 12\). Portanto, a resposta correta é: A) 12.