Exemplo 2: Determine ∂z/∂x e ∂z/∂y se ez = xyz.

Para determinar as derivadas parciais \(\frac{\partial z}{\partial x}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y}\) da equação \(e^z = xyz\), precisamos usar a regra da cadeia. 1. Derivada parcial em relação a \(x\): \[ \frac{\partial}{\partial x}(e^z) = \frac{\partial}{\partial x}(xyz) \] Usando a regra da cadeia, temos: \[ e^z \frac{\partial z}{\partial x} = yz \] Portanto: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{e^z} \] 2. Derivada parcial em relação a \(y\): \[ \frac{\partial}{\partial y}(e^z) = \frac{\partial}{\partial y}(xyz) \] Novamente, usando a regra da cadeia: \[ e^z \frac{\partial z}{\partial y} = xz \] Portanto: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz}{e^z} \] Resumindo: - \(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{e^z}\) - \(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz}{e^z}\)