Qual é o valor de →G(0) para que a função →G(t) = ⟨e^(2t + 1), √(t + 1) - 1/t, 2 sen(t)⟩ seja contínua em t = 0? E < 1, 1/2, 2 >

Para determinar o valor de \( G(0) \) e garantir que a função \( G(t) = \langle e^{2t + 1}, \sqrt{t + 1} - \frac{1}{t}, 2 \sen(t) \rangle \) seja contínua em \( t = 0 \), precisamos analisar cada componente da função. 1. Primeira componente: \( e^{2t + 1} \) - Quando \( t = 0 \): \( e^{2(0) + 1} = e^1 = e \). 2. Segunda componente: \( \sqrt{t + 1} - \frac{1}{t} \) - Para \( t = 0 \), a expressão \( \frac{1}{t} \) não está definida. Precisamos calcular o limite quando \( t \) se aproxima de 0: \[ \lim_{t \to 0} \left( \sqrt{t + 1} - \frac{1}{t} \right). \] - O limite é indeterminado, então aplicamos a regra de L'Hôpital ou simplificamos a expressão. 3. Terceira componente: \( 2 \sen(t) \) - Quando \( t = 0 \): \( 2 \sen(0) = 0 \). Para que \( G(t) \) seja contínua em \( t = 0 \), precisamos que o limite da segunda componente exista e seja igual a \( G(0) \). Após calcular, encontramos que o limite da segunda componente, conforme \( t \) se aproxima de 0, é \( 0 \). Assim, para que \( G(0) \) seja contínua, precisamos que: \[ G(0) = \langle e, 0, 0 \rangle. \] Portanto, o valor de \( G(0) \) que garante a continuidade da função em \( t = 0 \) é \( e \) para a primeira componente, \( 0 \) para a segunda e \( 0 \) para a terceira. Se a pergunta se refere a um valor específico entre \( < 1, 1/2, 2 > \), o valor correto não está entre essas opções, pois \( e \) é aproximadamente \( 2.718 \).