Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre derivadas parciais: A) Se uma função f : R² → R diferenciável em (x₀, y₀) pode não ter plano tangente em (x₀, y₀, f(x₀, y₀)). Incorreta. Se a função é diferenciável, ela deve ter um plano tangente nesse ponto. B) Se uma função f : R² → R possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável. Incorreta. A continuidade das derivadas parciais não garante a diferenciabilidade da função. C) Toda função f : R² → R contínua em um ponto P é diferenciável em P. Incorreta. A continuidade não implica diferenciabilidade. Um exemplo clássico é a função valor absoluto. D) Para provar que uma função f : R² → R é contínua em (x₀, y₀), basta provar que lim (x, y) → (x₀, y₀) f(x, y) existe sobre todas as retas que passam por (x₀, y₀). Incorreta. A continuidade exige que o limite exista e seja igual ao valor da função no ponto, não apenas ao longo de retas. E) A função f(x, y) = √(x² + y²) tem derivadas direcionais em todas as direções do ponto (0, 0). Correta. A função é contínua e possui derivadas direcionais em todas as direções, mesmo no ponto (0, 0). Portanto, a afirmativa correta é: E.