Para encontrar o valor de \( f_y(1, 2) \), podemos usar a fórmula da derivada direcional. A derivada direcional de uma função \( f \) no ponto \( (1, 2) \) na direção de um vetor unitário \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = f_x(1, 2) \cdot u_1 + f_y(1, 2) \cdot u_2 \] No seu caso, temos: - \( f_x(1, 2) = -1 \) - A direção do vetor \( (1, 1) \) precisa ser normalizada para se tornar um vetor unitário. O vetor unitário correspondente é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \] Assim, \( u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \) e \( u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \). A derivada direcional dada é \( D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = 1 \). Substituindo na fórmula: \[ 1 = (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + f_y(1, 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \] Resolvendo a equação: \[ 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{f_y(1, 2)}{\sqrt{2}} \] Multiplicando toda a equação por \( \sqrt{2} \): \[ \sqrt{2} = -1 + f_y(1, 2) \] Portanto: \[ f_y(1, 2) = \sqrt{2} + 1 \] Assim, a resposta correta é: E) \( 1 + \sqrt{2} \)