Para determinar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto Q = (4, 4), precisamos aplicar a regra da cadeia. 1. Função de temperatura: \( T(x, y) = 36 - 2x^2 - 4y^2 \) 2. Parâmetros da trajetória: \( r(t) = (t, \frac{t^2}{4}) \) - Aqui, \( x(t) = t \) e \( y(t) = \frac{t^2}{4} \). 3. Derivadas parciais: - \( \frac{\partial T}{\partial x} = -4x \) - \( \frac{\partial T}{\partial y} = -8y \) 4. Avaliar as derivadas no ponto P = (2, 1): - \( \frac{\partial T}{\partial x} \bigg|_{(2, 1)} = -4(2) = -8 \) - \( \frac{\partial T}{\partial y} \bigg|_{(2, 1)} = -8(1) = -8 \) 5. Derivadas da trajetória: - \( \frac{dx}{dt} = 1 \) - \( \frac{dy}{dt} = \frac{t}{2} \) 6. Aplicando a regra da cadeia: \[ \frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial T}{\partial y} \frac{dy}{dt} \] Substituindo os valores: \[ \frac{dT}{dt} = (-8)(1) + (-8)\left(\frac{t}{2}\right) \] Para o ponto Q = (4, 4), precisamos encontrar o valor de \( t \) que leva a \( x = 4 \) e \( y = 4 \): - \( x(t) = t \) implica \( t = 4 \) - \( y(t) = \frac{t^2}{4} \) implica \( 4 = \frac{t^2}{4} \) ou \( t^2 = 16 \), então \( t = 4 \). 7. Substituindo \( t = 4 \): \[ \frac{dT}{dt} = -8 - 8\left(\frac{4}{2}\right) = -8 - 16 = -24 \] Portanto, a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto Q = (4, 4) é \( -24°C/seg \). A resposta correta não é a que você forneceu (D -80°C/seg), mas sim \( -24°C/seg \).