Para encontrar a matriz de mudança de base de β para ε, precisamos primeiro entender como a base β é formada a partir da base canônica ε. A base canônica em R² é formada pelos vetores \( e_1 = (1, 0) \) e \( e_2 = (0, 1) \). Ao rotacionar esses vetores por \( \frac{\pi}{4} \) radianos no sentido horário, obtemos: - O vetor \( e_1 \) se torna \( \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right), \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \). - O vetor \( e_2 \) se torna \( \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right), \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \). Assim, a base β é formada pelos vetores \( \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \) e \( \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \). A matriz de mudança de base de β para ε é formada pelos vetores da base β como colunas, ou seja: \[ M_{\beta \to \epsilon} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \] Analisando as alternativas: (a) \([1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2} \quad -1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2}]\) - Não é a matriz correta. (b) \([-1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2}]\) - Não é a matriz correta. (c) \([1/\sqrt{2} \quad -1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2}]\) - Não é a matriz correta. (d) \([1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2} \quad -1/\sqrt{2}]\) - Esta é a matriz correta. Portanto, a alternativa correta é: (d) \([1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2} \quad 1/\sqrt{2} \quad -1/\sqrt{2}]\).