Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{x}{x^2 + 2} \, dx \). Resposta: \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) + C \).

Para calcular a integral indefinida \( \int \frac{x}{x^2 + 2} \, dx \), podemos usar a substituição. 1. Substituição: Seja \( u = x^2 + 2 \). Então, \( du = 2x \, dx \) ou \( \frac{du}{2} = x \, dx \). 2. Reescrevendo a integral: A integral se torna: \[ \int \frac{x}{x^2 + 2} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du \] 3. Integrando: A integral de \( \frac{1}{u} \) é \( \ln|u| + C \). Portanto: \[ \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C \] 4. Voltando à variável original: Substituindo \( u \) de volta: \[ \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2| + C \] Como \( x^2 + 2 \) é sempre positivo, podemos simplificar para: \[ \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) + C \] Portanto, a resposta está correta: \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) + C \).