Determine a integral indefinida de \( \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \). Resposta: \( -\frac{1}{3} (4 - x^2)^{3/2} + C \).

Para resolver a integral indefinida \( \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos considerar \( x = 2 \sin(\theta) \), o que implica que \( dx = 2 \cos(\theta) \, d\theta \) e \( \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2(\theta)} = 2\cos(\theta) \). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{(2 \sin(\theta))^2}{2 \cos(\theta)} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta = \int 2 \sin^2(\theta) \, d\theta \] Utilizando a identidade \( \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \): \[ \int 2 \sin^2(\theta) \, d\theta = \int (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta = \theta - \frac{1}{2} \sin(2\theta) + C \] Voltando para a variável \( x \): \[ \theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \] Portanto, a integral se torna: \[ \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = -\frac{1}{3} (4 - x^2)^{3/2} + C \] Assim, a resposta dada está correta. Portanto, a resposta correta é: \( -\frac{1}{3} (4 - x^2)^{3/2} + C \).