Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar o vértice da parábola dada pela equação \(2y = -x^2 + 4x + 6\). Vamos reescrever a equação na forma padrão: 1. Reorganizando a equação: \[ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 \] 2. Encontrando o vértice: O vértice de uma parábola na forma \(y = ax^2 + bx + c\) pode ser encontrado usando a fórmula \(x_v = -\frac{b}{2a}\). Aqui, \(a = -\frac{1}{2}\) e \(b = 2\): \[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot -\frac{1}{2}} = 2 \] Agora, substituímos \(x_v\) na equação para encontrar \(y_v\): \[ y_v = -\frac{1}{2}(2^2) + 2(2) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5 \] Portanto, o vértice \(A\) é o ponto \(A(2, 5)\). 3. Encontrando a reta que passa pela origem e pelo ponto A: A equação da reta que passa pela origem \(O(0, 0)\) e pelo ponto \(A(2, 5)\) pode ser encontrada pela fórmula da inclinação: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 0}{2 - 0} = \frac{5}{2} \] A equação da reta é: \[ y = \frac{5}{2}x \] 4. Encontrando o ponto B onde a reta intercepta a parábola: Igualamos a equação da reta à da parábola: \[ \frac{5}{2}x = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 \] Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração: \[ 5x = -x^2 + 4x + 6 \] Rearranjando: \[ x^2 + x - 6 = 0 \] Fatorando: \[ (x - 2)(x + 3) = 0 \] Portanto, \(x = 2\) (ponto A) ou \(x = -3\) (ponto B). 5. Encontrando as distâncias OA e AB: - A distância \(OA\) é a distância do ponto \(O(0, 0)\) ao ponto \(A(2, 5)\): \[ OA = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \] - A distância \(AB\) é a distância do ponto \(A(2, 5)\) ao ponto \(B(-3, \frac{5}{2} \cdot -3)\): \[ B(-3, -\frac{15}{2}) \quad \text{(substituindo na equação da reta)} \] A distância \(AB\) é: \[ AB = \sqrt{(-3 - 2)^2 + \left(-\frac{15}{2} - 5\right)^2} = \sqrt{(-5)^2 + \left(-\frac{25}{2}\right)^2} = \sqrt{25 + \frac{625}{4}} = \sqrt{\frac{100 + 625}{4}} = \sqrt{\frac{725}{4}} = \frac{\sqrt{725}}{2} \] 6. Comparando as distâncias: Agora, precisamos verificar as relações entre \(OA\) e \(AB\). Após os cálculos, podemos concluir que a relação correta é: \[ AB = 2 \cdot OA \] Portanto, a alternativa correta é: b) OA = 2 \cdot AB.