Qual é o valor de ∫_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 4x) dx? A) 1 B) 5/12 C) 7/12 D) 3/4

Para calcular a integral definida \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 4x) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(2x^3 - 3x^2 + 4x\). 1. Antiderivada: - A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). - A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-\frac{3}{3}x^3 = -x^3\). - A antiderivada de \(4x\) é \(2x^2\). Portanto, a antiderivada da função é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 \] 2. Avaliação da integral: Agora, vamos avaliar \(F(x)\) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + 2(1)^2 = \frac{1}{2} - 1 + 2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - (0)^3 + 2(0)^2 = 0 \] 3. Resultado da integral: Agora, subtraímos os valores: \[ \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 4x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2} \] No entanto, parece que não temos essa opção nas alternativas. Vamos verificar se houve algum erro nos cálculos ou se as opções estão corretas. Após revisar, percebo que o resultado correto da integral é \(\frac{3}{2}\), que não está entre as opções fornecidas. Portanto, você pode querer verificar as opções ou o enunciado da questão. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!