Qual é a solução da equação e^{2x} + 5e^x - 6 = 0? A) ln(2) B) ln(3) C) ln(1) D) ln(6)

Para resolver a equação \( e^{2x} + 5e^x - 6 = 0 \), podemos fazer uma substituição. Vamos definir \( y = e^x \). Assim, a equação se torna: \[ y^2 + 5y - 6 = 0 \] Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = 5 \) e \( c = -6 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-5 \pm 7}{2} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( y = \frac{2}{2} = 1 \) 2. \( y = \frac{-12}{2} = -6 \) (não é válida, pois \( e^x \) não pode ser negativo) Portanto, temos \( y = 1 \), que implica que: \[ e^x = 1 \] Assim, \( x = \ln(1) \). A alternativa correta é: C) ln(1)