Determine o valor de ∫_0^1 x^2(1-x)^2 dx. A) 1/20 B) 1/30 C) 1/6 D) 1/12

Para resolver a integral \(\int_0^1 x^2(1-x)^2 \, dx\), vamos primeiro expandir a função dentro da integral: \[ (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 \] Portanto, temos: \[ x^2(1-x)^2 = x^2(1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x^3 + x^4 \] Agora, podemos integrar cada termo separadamente: \[ \int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) \, dx = \int_0^1 x^2 \, dx - 2\int_0^1 x^3 \, dx + \int_0^1 x^4 \, dx \] Calculando cada integral: 1. \(\int_0^1 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}\) 2. \(\int_0^1 x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}\) 3. \(\int_0^1 x^4 \, dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{5}\) Substituindo os valores: \[ \int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) \, dx = \frac{1}{3} - 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{5} \] Calculando: \[ = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3, 2 e 5 é 30. Convertendo cada fração: \[ \frac{1}{3} = \frac{10}{30}, \quad \frac{1}{2} = \frac{15}{30}, \quad \frac{1}{5} = \frac{6}{30} \] Agora, somando: \[ \frac{10}{30} - \frac{15}{30} + \frac{6}{30} = \frac{10 - 15 + 6}{30} = \frac{1}{30} \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^1 x^2(1-x)^2 \, dx\) é \(\frac{1}{30}\). A alternativa correta é: B) 1/30.