Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \cos(x) + \ln(x) + 3x^2 \), vamos aplicar a regra do produto, a regra da cadeia e as regras básicas de derivação. 1. Derivada de \( e^x \cdot \cos(x) \): - Usando a regra do produto: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) - Aqui, \( u = e^x \) e \( v = \cos(x) \). - \( u' = e^x \) e \( v' = -\sin(x) \). - Portanto, a derivada é: \[ e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot (-\sin(x)) = e^x \cdot (\cos(x) - \sin(x)) \] 2. Derivada de \( \ln(x) \): - A derivada de \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). 3. Derivada de \( 3x^2 \): - A derivada de \( 3x^2 \) é \( 6x \). Agora, juntando tudo, temos: \[ f'(x) = e^x \cdot (\cos(x) - \sin(x)) + \frac{1}{x} + 6x \] Analisando as alternativas: a) \( e^x \cdot (\sin(x) - \cos(x)) + \frac{1}{x} + 6x \) - Incorreta, a ordem dos termos está errada. b) \( e^x \cdot (\cos(x) - \sin(x)) + \frac{1}{x} + 6x \) - Correta, corresponde à derivada que encontramos. c) \( e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) + \frac{1}{x^2} + 6x^2 \) - Incorreta, a expressão não corresponde. d) \( e^x \cdot (\cos(x) + \sin(x)) + \frac{1}{x} + 6x \) - Incorreta, a expressão não corresponde. Portanto, a alternativa correta é: b) \( e^x \cdot (\cos(x) - \sin(x)) + \frac{1}{x} + 6x \).