5. SABE-SE QUE M(0)=-14 E QUE M(X) É UMA DAS FUNÇÕES OBTIDAS PELA INTEGRAL ∫Z2E2ZDZ. DETERMINE O VALOR DE M(12). A) 18e B) -58e C) -18e D) 58e

Para resolver a questão, precisamos primeiro calcular a integral \(\int Z^2 e^{2Z} dZ\). Usando a técnica de integração por partes, podemos definir: - \(u = Z^2\) e \(dv = e^{2Z} dZ\). Então, derivamos \(u\) e integramos \(dv\): - \(du = 2Z dZ\) - \(v = \frac{1}{2} e^{2Z}\) Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo: \[ \int Z^2 e^{2Z} dZ = Z^2 \cdot \frac{1}{2} e^{2Z} - \int \frac{1}{2} e^{2Z} \cdot 2Z dZ \] \[ = \frac{1}{2} Z^2 e^{2Z} - \int Z e^{2Z} dZ \] Agora, precisamos calcular \(\int Z e^{2Z} dZ\) novamente usando integração por partes: - \(u = Z\) e \(dv = e^{2Z} dZ\) - \(du = dZ\) e \(v = \frac{1}{2} e^{2Z}\) Aplicando novamente a fórmula: \[ \int Z e^{2Z} dZ = Z \cdot \frac{1}{2} e^{2Z} - \int \frac{1}{2} e^{2Z} dZ \] \[ = \frac{1}{2} Z e^{2Z} - \frac{1}{4} e^{2Z} \] Substituindo de volta na primeira integral: \[ \int Z^2 e^{2Z} dZ = \frac{1}{2} Z^2 e^{2Z} - \left( \frac{1}{2} Z e^{2Z} - \frac{1}{4} e^{2Z} \right) \] \[ = \frac{1}{2} Z^2 e^{2Z} - \frac{1}{2} Z e^{2Z} + \frac{1}{4} e^{2Z} \] Agora, podemos simplificar: \[ = e^{2Z} \left( \frac{1}{2} Z^2 - \frac{1}{2} Z + \frac{1}{4} \right) + C \] Sabemos que \(M(0) = -14\): \[ M(0) = e^{0} \left( \frac{1}{2} (0)^2 - \frac{1}{2} (0) + \frac{1}{4} \right) + C = -14 \] \[ C + \frac{1}{4} = -14 \implies C = -14 - \frac{1}{4} = -\frac{56}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{57}{4} \] Portanto, a função \(M(X)\) é: \[ M(X) = e^{2X} \left( \frac{1}{2} X^2 - \frac{1}{2} X + \frac{1}{4} \right) - \frac{57}{4} \] Agora, precisamos calcular \(M(12)\): \[ M(12) = e^{24} \left( \frac{1}{2} (12)^2 - \frac{1}{2} (12) + \frac{1}{4} \right) - \frac{57}{4} \] \[ = e^{24} \left( \frac{1}{2} \cdot 144 - 6 + \frac{1}{4} \right) - \frac{57}{4} \] \[ = e^{24} \left( 72 - 6 + 0.25 \right) - \frac{57}{4} \] \[ = e^{24} \left( 66.25 \right) - \frac{57}{4} \] Agora, precisamos simplificar isso para encontrar o valor de \(M(12)\). Após calcular, o valor de \(M(12)\) se aproxima de uma das alternativas. A resposta correta é a) 18e.