DETERMINE O VALOR DE: ∫02|X2+X-2|DX A) 4 B) 3 C) 2 D) 1

Para resolver a integral \(\int_0^2 |x^2 + x - 2| \, dx\), primeiro precisamos determinar onde a função \(x^2 + x - 2\) muda de sinal. 1. Encontrar as raízes da função: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] As raízes são \(x = 1\) e \(x = -2\). 2. Analisar o sinal da função no intervalo [0, 2]: - Para \(x < 1\) (por exemplo, \(x = 0\)): \(0^2 + 0 - 2 = -2\) (negativo). - Para \(x > 1\) (por exemplo, \(x = 2\)): \(2^2 + 2 - 2 = 4\) (positivo). Portanto, no intervalo de \(0\) a \(2\), a função \(x^2 + x - 2\) é negativa de \(0\) a \(1\) e positiva de \(1\) a \(2\). 3. Escrever a integral com o módulo: \[ \int_0^2 |x^2 + x - 2| \, dx = \int_0^1 -(x^2 + x - 2) \, dx + \int_1^2 (x^2 + x - 2) \, dx \] 4. Calcular as integrais: - Para \(\int_0^1 -(x^2 + x - 2) \, dx\): \[ = \int_0^1 (-x^2 - x + 2) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right]_0^1 = \left[-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right] = -\frac{1}{3} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{9}{6} = \frac{9 - 2}{6} = \frac{7}{6} \] - Para \(\int_1^2 (x^2 + x - 2) \, dx\): \[ = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x\right]_1^2 = \left[\frac{8}{3} + 2 - 4\right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right] \] Calculando: \[ = \left[\frac{8}{3} - 2\right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{3}{6} - 2\right] = \left[\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{1.5 - 6}{3}\right] = \frac{2}{3} - \left[\frac{1 + 1.5 - 6}{3}\right] = \frac{2}{3} - \left[-\frac{3.5}{3}\right] = \frac{2}{3} + \frac{3.5}{3} = \frac{5.5}{3} \] 5. Somar os resultados: \[ \int_0^2 |x^2 + x - 2| \, dx = \frac{7}{6} + \frac{5.5}{3} = \frac{7}{6} + \frac{11}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] Portanto, o valor da integral é 3. A alternativa correta é B) 3.