2. DETERMINE A INTEGRAL ∫01X2 E-X3DX: A) 13+13e B) 13-1e C) 13+1e D) 13-13e

Para resolver a integral \(\int_0^1 x^2 e^{-x^3} \, dx\), podemos usar a substituição. Vamos fazer a substituição \(u = -x^3\), o que implica que \(du = -3x^2 \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{3x^2}\). Quando \(x = 0\), \(u = 0\) e quando \(x = 1\), \(u = -1\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^1 x^2 e^{-x^3} \, dx = \int_0^{-1} e^u \left(-\frac{du}{3}\right) = \frac{1}{3} \int_{-1}^0 e^u \, du \] Agora, calculamos a integral: \[ \int e^u \, du = e^u \] Portanto: \[ \frac{1}{3} \left[ e^u \right]_{-1}^0 = \frac{1}{3} \left( e^0 - e^{-1} \right) = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3e} \] Assim, a integral resulta em: \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{3e} \] Analisando as alternativas, a resposta correta é: B) \(\frac{1}{3} - \frac{1}{e}\).